Question

（15分）北京时间05年4月12日20时0分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”捆绑式运载火箭，成功地将“亚太六号”通信卫星(其质量用m表示)送入太空。这颗“亚太六号”通信卫星在围绕地球的椭圆轨道上运行。离地球表面最近的点A(近地点)高度L₁=209km(209×10³m)、离地球表面最远的点B(远地点)高度L₂=49991km(49991×10³m)。已知地球质量M=6.0×10²⁴kg、引力常量G=×10^-9N?m²/kg²、地球半径R=6400km=6.4×10⁶m。地球上空任一高度处h(h为到地球中心的距离)，卫星具有的引力势能表达式为-，求：

（1）此卫星在围绕地球的椭圆轨道上从近地点A运动到远地点B的时间约为几天(设π²=10.保留两位数字)

（2）证明：V_A?(L₁+R)= V_B(L₂+R)  其中V_A和V_B分别是“亚太六号”通信卫星在近地点A和远地点B的速度；L₁+R和L₂+R分别是“亚太六号”通信卫星在近地点A和远地点B到地球球心的距离(提示：根据椭圆的对称性可知近地点A和远地点B所在轨道处的极小的弧形应是半径相等的圆弧的弧)

（3）试计算“亚太六号”通信卫星的发射速度V的大小是多少km/s(保留两位数字)

Answer 1

解析：

（1）万有引力提供向心力

=mω²r=m()²r                                    (1分)

整理得==                                          (1分)

由开普勒定律及上面推证知任一椭圆中上式同样适用：k===    (1分)

由图知半长轴r=(209+2×6400+49991)/2  km                    (1分)

=31500km(或315×10⁵m)                       (1分)

T=                                             (1分)

=s=0.64天                         (1分)

从近地点A运行到远地点B的时间t=T/2=0.32天               (1分)

（2）设近地点A和远地点B所在轨道处的极小圆弧的半径为ρ

依题意和万有引力提供向心力得：

f_A==m                  (1分)

f_B==m                 (1分)

联立解得V_A?(L₁+R)=V_B(L₂+R)                  (1分)

（3）由机械能守恒及上面的证明得：

mV-=mV-            (1分)

mV-=mV-             (1分)

V_A?(L₁+R)= V_B(L₂+R)

联立解得V=          (2分)

代入数据得V₀=10.6km/s               (2分)