Question

如图所示，半圆玻璃砖的半径R=10cm，折射率为n=

3

，直径AB与屏幕MN垂直并接触于A点，一在真空中波长为λ₀的激光a，以入射角i=30°射向半圆玻璃砖的圆心O，结果在水平屏幕MN上出现两个光斑．（已知光在真空中速度为c）求：
（1）激光a在玻璃砖中的频率、波长；
（2）屏幕MN上两个光斑之间距离L；
（3）保持玻璃砖不动，增大入射角i，MN上会只剩下一个光斑．求刚好只剩下一个光斑时，该光斑距A点的距离．

Answer 1

分析：（1）激光a在玻璃砖中的频率等于它在真空中的频率，由公式c=λ₀求出．激光a在玻璃砖中的波长由波速公式v=λf和v=

c

n

结合求解．
（2）光线在AB面上发生反射和折射，在水平屏幕MN上出现两个光斑，根据折射定律结合几何关系求出两个光斑之间的距离．
（3）保持玻璃砖不动，增大入射角i，MN上会只剩下一个光斑时，说明光线在AB面上发生了全反射，此时入射角恰好等于临界角，根据临界角公式和几何关系结合求解．

解答：解：（1）激光a在玻璃砖中的频率为：f=

c

λ0

，波长：λ=

v

f

=

c n

f

=

λ0

n

  
（2）设全反射临界角为C，则有：
sinC=

1

n

=

1

3

=0.57
因为i=30°＜C，
所以光线在AB面上不发生全反射，即既有反射又有折射．作出光路图如图所示．
根据折射定律得；：

sini

sinr

=

1

n

，
得，sinr=nsini=

3

×sin30°=

3

2

，r=60° 
由几何知识得，△OPQ为直角三角形，所以两个光斑PQ之间的距离：
L=

.

PQ

=

.

AP

+

.

AQ

=Rtan60°+R?tan30°=

3

R+

3

3

R=

4 3

3

×10cm=

40 3

3

cm
（3）保持玻璃砖不动，增大入射角i，MN上会只剩下一个光斑时，说明光线在AB面上发生了全反射，此时入射角恰好等于临界角，即i=C．
因sinC=

1

n

=

3

3

，
则得：tanC=

sinC

cosC

=

sinC

1-sin2C

=

3 3

1-( 3 3 )2

=

2

2

所以光斑H距A点距离为：

.

AH

=

R

tanC

=

10

2 2

=10

2

cm
答：（1）激光a在玻璃砖中的频率、波长分别为

c

λ0

和

λ0

n

；
（2）屏幕MN上两个光斑之间距离L是

40 3

3

cm；
（3）刚好只剩下一个光斑时，该光斑距A点的距离是10

2

cm．

点评：光从一种介质进入另一种介质时保持不变的量是频率．此题通过考查了折射定律和反射定律的基本运用，难度不大，对数学几何的能力要求较高，需加强训练．