Question

6．在如图所示的电路中，电压表和电流表均为理想电表，R₂、R₃均为定值电阻，且R₂=216Ω，R₃阻值未知，R₁是一滑动变阻器，当其滑片在最左端a时，电压表和电流表示数分别为8V，0.1A；当其滑片在最右端b时，电压表和电流表示数分别为4V，0.5A．求：
（1）电源的电动势和内阻；
（2）定值电阻R₃的阻值和滑动变阻器的最大阻值；
（3）电源的最大输出功率．

Answer 1

分析 （1）对滑片在最左端a和最右端b的两种情况，根据闭合电路欧姆定律列式，可求得电源的电动势和内阻．
（2）当滑片在最右端b时，由电压和电流求出R₃的阻值．当滑动变阻器滑片滑到最左端a时，根据电路中电流关系列式，可求得滑动变阻器的最大阻值．
（3）根据闭合电路欧姆定律和功率公式结合得到电源的输出功率与电流的关系，再由数学知识求解．

解答 解：（1）由闭合电路欧姆定律可知：
滑片在最左端a时有：U_a=E-I_ar，代入得：8=E-0.1×r
滑片在最左端b时有：U_b=E-I_abr，代入得：4=E-0.5×r
解得：E=9V，r=10Ω
（2）当滑动变阻器滑片滑到最右端时，满足：R₃=$\frac{{U}_{b}}{{I}_{b}}$=$\frac{4}{0.5}$=8Ω
当滑动变阻器滑片滑到最左端时，满足 U_a=U_并+I_aR₃
且有 $\frac{{U}_{并}}{{R}_{滑}}$+$\frac{{U}_{并}}{{R}_{2}}$=I_a
得：滑动变阻器的最大阻值 R_滑=108Ω
（3）【方法一】：路端电压为：U=E-Ir=9-10I
电源的输出功率：P=UI=-10I²+9I
由此可知：当I=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{9}{2×（-10）}$A=0.45A时，取电源的输出功率最大，为 P_m=-10×0.45²+9×0.45≈2W
【方法二】：外电阻的范围为：80Ω≥R_总≥8Ω，而内电阻r=10Ω在此范围内．  
则当R_外=r=10Ω时，电源的输出功率最大．  
P_出max=$\frac{{E}^{2}}{4r}$=2.025W≈2.0W   
答：
（1）电源的电动势是9V，内阻是10Ω；
（2）定值电阻R₃的阻值是8Ω，滑动变阻器的最大阻值是108Ω；
（3）电源的最大输出功率是2W．

点评 根据两种情况下路端电压和电流，由闭合电路欧姆定律求电源的电动势和内阻是常用的方法，要熟练掌握．对于极值问题，可运用数学上函数法解答．