Question

9．在长度为L的细线的下端拴一个质量为m的小球，捏住细线的上端，使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，试求：
①小球所受的向心力的大小；
②绳受到的拉力大小；
③小球向心加速度的大小；
④小球做圆周运动的角速度的大小；
⑤小球做圆周运动的线速度的大小．

Answer 1

分析 ①、②小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，根据合力提供向心力，求出细线拉力的大小．
③根据向心力公式结合几何关系求出向心加速度．
④由向心力公式得：mgtanθ=mω²r，求解角速度大小．
⑤由v=rω，求线速度的大小．

解答 解：①小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，如图
小球受重力、和绳子的拉力，合力提供向心力，则向心力 F_n=mgtanθ=mg•$\frac{a}{\sqrt{{l}^{2}-{a}^{2}}}$
②根据几何关系可知：绳受到的拉力大小 T=$\frac{mg}{cosθ}$=mg$\frac{l}{\sqrt{{l}^{2}-{a}^{2}}}$
③由向心力公式得：mgtanθ=ma，
解得：a=gtanθ=$\frac{ag}{\sqrt{{l}^{2}-{a}^{2}}}$
④由向心力公式得：mgtanθ=mω²a
解得：ω=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$=$\sqrt{\frac{g}{\sqrt{{l}^{2}-{a}^{2}}}}$
⑤小球做圆周运动的线速度的大小 v=ωa=a$\sqrt{\frac{g}{\sqrt{{l}^{2}-{a}^{2}}}}$
答：
①小球所受的向心力的大小为mg•$\frac{a}{\sqrt{{l}^{2}-{a}^{2}}}$；
②绳受到的拉力大小为mg$\frac{l}{\sqrt{{l}^{2}-{a}^{2}}}$；
③小球向心加速度的大小为$\frac{ag}{\sqrt{{l}^{2}-{a}^{2}}}$；
④小球做圆周运动的角速度的大小$\sqrt{\frac{g}{\sqrt{{l}^{2}-{a}^{2}}}}$；
⑤小球做圆周运动的线速度的大小为a$\sqrt{\frac{g}{\sqrt{{l}^{2}-{a}^{2}}}}$．

点评 本题是圆锥摆问题，关键是分析受力情况，确定向心力的来源．要注意小球圆周运动的半径不等于绳长．