Question

13．如图所示，一条铁链长为2m，质量为10kg，放在水平地面上，从铁链的一端将铁链提起，直到铁链全部离开地面的瞬间，手克服铁链重力所做的功为多少？铁链的重力势能变化了多少？若从离端点x处将铁链提起，则重力势能的变化量与x的关系是什么？

Answer 1

分析 克服重力做功，物体的重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力做的功，由功的计算公式分析答题．

解答 解：克服重力做的功W=△E_P=mgh=$mg\frac{l}{2}$=10×10×$\frac{2}{2}$=100J，
即克服重力做功为100J，重力势能增加了100J；
从离端点x处将铁链提起时，较短的部分x的质量：${m}_{1}=\frac{x}{l}m$
重心的位置：${h}_{1}=l-x-\frac{x}{2}=l-\frac{3}{2}x$
重力势能：${E}_{p1}={m}_{1}g{h}_{1}=\frac{x}{l}（l-\frac{3x}{2}）mg$=$\frac{x}{2}（2-\frac{3x}{2}）×10×10=50x•（2-\frac{3x}{2}）$
另一部分的质量：${m}_{2}=\frac{l-x}{l}m$
重心的位置：${h}_{2}=\frac{l-x}{2}$
重力势能：${E}_{p2}={m}_{2}g{h}_{2}=（\frac{l-x}{l}）•（\frac{l-x}{2}）mg$=$（\frac{2-x}{2}）•（\frac{2-x}{2}）×10×10=25（2-x）^{2}$
所以增加的总重力势能：E_P=E_p1+E_p2=100+50x-50x²
答：手克服铁链重力所做的功为100J；铁链的重力势能增加了100J．若从离端点x处将铁链提起，则重力势能的变化量与x的关系是${E}_{p}=100+50x-50{x}^{2}$．

点评 重力做正功，重力势能减少，减少的重力势能等于重力做的功；
重力做负功，即克服重力做功，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力做的功．