Question

（2010?成都三模）近年，植被的严重破坏导致我国北方“沙尘暴”频发，现将沙尘上扬后的情况简化如下；风速竖直向上，设为v，沙尘颗粒上扬后悬浮在空中（视为静止），此时风对沙尘的作用力等效于沙尘以速度v在静止的空气中运动时所受到的阻力f，且f=aρAv²，式中α为一系数，A为沙尘颗粒的截面积，ρ为空气密度．已知α=0.5，地面空气密度ρ₀=1.2kg/m³，沙尘颗粒为球形，密度ρ秒=3×103kg/m³，半径R=0.24mm，（球的体积公式为V=

4

3

πR3），重力加速度g取10m/s²，且不考虑重力加速度随高度的变化．
（1）求发生沙尘暴时地面附近的最小风速（方向向上）；
（2）若空气密度ρ随高度h变化的关系为ρ=ρ0(1-kh)，常量k=1.2×10-3m^-1，ρ₀为地面空气密度，当竖直向上的风速为5m/s时，求沙尘扬起后悬浮的最大高度．

Answer 1

分析：（1）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气阻力至少应与重力平衡．应用平衡条件列式求解．
（2）设出最大高度h，表示出此处空气密度，再由平衡条件列式计算即可．

解答：解：（1）沙尘悬浮时受力平衡，根据平衡条件，有：mg=f
其中：m=ρ沙V=ρ沙×

4

3

πR3
由题意知：f=αρ0Av2，A=πR²
联立以上四式得：v=

4Rρ沙g 3αρ0

=

4×0.24×10-3×3000×10 3×0.5×1.2

=4m/s
（2）设最大高度为h，沙尘悬浮时受力平衡，有：
mg=f
其中：m=ρ沙V=ρ沙×

4

3

πR3
由题意知：f=αρAv²，A=πR²ρ=ρ₀（1-kh）
联立各式并代入数据，解得：v=5m/s时，h=300m
答：（1）发生沙尘暴时地面附近的最小风速为4m/s；
（2）沙尘扬起后悬浮的最大高度为300m．

点评：本题为一个理论联系实际的题目，本质上是平衡条件的应用问题，但难点是怎样把题目中的情景与学习的理论知识联系起来，同时运算要有耐心．