Question

在金属板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压U_o，其周期是T．现有电子以平行于金属板的速度v_o从两板中央射入（如图甲）．已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，求：
（1）若电子从t=0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小．
（2）若电子从t=0时刻射入，恰能平行于金属板飞出，则金属板至少多长？
（3）若电子恰能从两板中央平行于板飞出，电子应从哪一时刻射入，两板间距至少多大？

Answer 1

（1）电子飞出过程中只有电场力做功，根据动能定理得：
e

U0

2

=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²
解得：v=

v 20 + eU0 m

（2）若电子恰能平行于金属板飞出，说明电子在竖直方向前半周期做匀加速直线运动，后半周期做匀减速直线运动，到电子飞出电场最少用时为T；则电子水平方向做匀速直线运动：L=v₀T
（3）若电子恰能从两板中央平行于板飞出，要满足两个条件，第一竖直方向的位移为零，第二竖直方向的速度为零；则电子竖直方向只能先加速到某一速度v_y再减速到零，然后反方向加速度到v_y再减速到零．
由于电子穿过电场的时间为T，所以竖直方向每段加速、减速的时间只能为

T

4

，即电子竖直方向只能先加速

T

4

时间到达某一速度v_y再减速

T

4

时间速度减小到零，然后反方向加速

T

4

时间到达某一速度v_y，再减速

T

4

时间速度减小到零，电子回到原高度．
根据以上描述电子可以从t时刻进入：t=

T

4

+

kT

2

（k=0，1，2，3…）
设两板间距至为d，
而电子加速

T

4

时间的竖直位移为：h=

1

2

eU0

dm

（

T

4

）²
而电子减速

T

4

时间的竖直位移也为：h
所以电子在竖直方向的最大位移为：y=2h=h=

eU0

dm

（

T

4

）² ①
而：y≤

d

2

 ②
由①②解得：d≥=

T

4

2eU0 m

所以d的最小值：d=

T

4

2eU0 m

答：（1）若电子从t=0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为

v 20 + eU0 m

．
（2）若电子从t=0时刻射入，恰能平行于金属板飞出，则金属板至少v₀T
（3）若电子恰能从两板中央平行于板飞出，电子应从哪一时刻射入，两板间距至少

T

4

2eU0 m