Question

【题目】打桩机的铁塔高度为，锤的质量；钢筋混凝土桩的质量，桩的横截面为正方形，其边长．桩在被打入地下的过程中，其阻力可以认为主要来自桩侧面泥土对其的黏滞作用，且阻力系数为，当桩已被打入地下时，再把锤升高，然后自由落下打击桩．假设碰撞过程是完全非弹性碰撞，试回答下列问题：

（1）这一锤能把桩再打多深？

（2）打桩的效率（用于推进桩的能量与锤打击桩的能量之比）为多少？

（3）如果碰撞过程是弹性碰撞，其恢复因数，重新分析问题（1）和（2）．

Answer 1

【答案】（1） （2）％ （3） ％

【解析】

（1）当锤下落高度时，根据机械能守恒定律，其速度为

①

由于是非弹性碰撞，对于桩和锤组成的系统，根据动量守恒定律，有

②

联立式①与式②，可得碰撞后桩和锤的共同速度为

③

设这一锤能把桩打入的深度为，取竖直向下为轴正向，桩下降时受到的阻力为

④

对于桩、锤系统损失的能量用于克服阻力做功，有

⑤

将式④代入式⑤化简得

⑥

代入数值得

解得

（2）碰撞前，锤的动能为 ⑦

碰撞后，桩、锤系统用于克服阻力做功的动能为

． ⑧

故打桩效率为％．

（3）设锤与桩碰撞结束时，锤、桩的速度分别为和，根据动量守恒定律有

⑨

根据恢复因数的定义，有

． ⑩

联立式⑨与式⑩解得，，

即得，．

显然，碰撞后锤被反弹．与式⑤类似，有

．

联立式④、式和式并代入数值得，解得

可知，这一锤打进的深度为

此时，打桩的效率为％

可见，有了弹性后，打桩的效率提高了，这是由于因变形和裂损的能量损失更小，使效率提高．