Question

如图所示，在与光滑绝缘的水平面上存在一和水平面重合的大小为E且区域足够大的匀强电场，在平行电场线的方向上有两个静止的小球A和B（均可视为质点），两小球的质量均为m，A球带-q，B球不带电．开始时两球相距为L，在电场力的作用下，A球开始沿直线运动并与B球发生对心正碰，碰撞中A、B两球的总动能无损失，设在每次碰撞过程中A、B间无电荷转移，若不考虑小球间的万有引力，求：（不计碰撞时间和位移）
（1）A球经过多长时间与B球发生第一次碰撞以及碰撞后两球的速度各为多大？
（2）从A球开始运动到两球发生N次碰撞，A球经历的时间t以及A球的总位移S各是多少？

Answer 1

分析：（1）根据动量定理和动能定理结合或根据牛顿第二定律求出A球的加速度，由速度位移公式求出A球与B球碰撞前的速度．
由于碰撞过程中A、B两球总动能无损失，由动量守恒和动能守恒列式，可知两个物体交换速度．
（2）作出速度-时间图象，由图象确定出两球从第一次碰撞到再次碰撞所经历的时间，采用归纳法得到两球发生N次碰撞，A球经历的时间t．根据速度图象的面积求出总位移S．

解答：解：（1）设A历时T与B第一次碰撞，且碰前的速度为v，由动量定理得：
  EqT=mv    ①
由动能定理得：EqL=

1

2

mv2  ②
解①②得T=

2mL qE

设两球第一次碰后的速度分别为v₁，v₂，由动量守恒和动能守恒得：
 mv=mv₁+mv₂   ③

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

 ④
解之得：v₁=0，v₂=v=

2qEL m

 ⑤
（2）对于A、B的碰撞过程，作出其速度-时间图象，如图所示，不难发现，由于碰撞中无能量损失和电荷的转移，两者从第一次碰撞后到再次碰撞的时间间隔相等，且为2T．
碰后A球每次经电场加速得到的速度经碰撞后和B球交换速度．
则从A球开始运动到两球发生N次碰撞，A球经历的时间有：
t=T+（N-1）2T=（2N-1）

2ml qE

   ⑥
总位移为S=

1

2

vT+v?2T+2v?2T+L+（N-1）?v2T=

vT

2

（2N²-2N+1）=（2N²-2N+1）L
答：
（1）A球经过

2mL qE

时间与B球发生第一次碰撞，碰撞后A、B两球的速度各为0和

2qEL m

．
（2）从A球开始运动到两球发生N次碰撞，A球经历的时间t是（2N-1）

2ml qE

，A球的总位移S是（2N²-2N+1）L．

点评：本题是小球周期性运动问题，关键作出速度图象，采用归纳法总结规律，运用数学知识求解．