Question

如图所示的“s”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨网道底端与水平地面相切，轨道在水平方向不可移动．弹射装置将一个小球（小球的直径略小于细圆管内径）从a点沿水平地面向b点运动并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出．已知小球与地面ab段间的动摩擦因数为μ，ab段长L，圆的半径R，小球质量m，求：
（1）若小球经d处时，对轨道上臂有压力，则它经过b处时的速度满足什么条件？
（2）为使小球离开轨道d处后，不会再碰到轨道，则小球离开d出时的速度至少为多大？
（3）若μ=0.2、L=1m、R=0.2m、m=0.1kg，g取10m/s²，小球从a点出发的速度为4m/s，则它经c点前、后的瞬间，小球对轨道的压力各为多大？

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律与机械能守恒定律，即可求解；
（2）根据平抛运动规律处理的方法，运用牛顿第二定律与运动学公式综合，借助于几何关系，即可求解；
（3）根据动能定理，与牛顿第二定律，结合向心力表达式，即可求解．

解答：解：（1）根据牛顿第二定律，小球经d点时Fd+mg=m

v 2 d

R

F_d＞0，即vd＞

gR

小球从b到d，由机械能守恒定律

1

2

m

v

2 d

+4mgR=

1

2

m

v

2 b

解得vb＞3

gR

（2）假设恰好落到竖直位移3R处，则该点的速度方向竖直向下，这不符合平抛运动的规律．设小球离开d出时的速度为v_d时，在运动过程中与轨道恰好相碰，即小球的运动轨迹与圆相切．以d点为坐标原点建立如图10坐标系，由平抛运动规律得
x=v_dt①
y=

1

2

gt2②
由①②两式得y=

g

2 v 2 d

x2③
由解析几何知识得x²+（y-3R）²=R²④
联立③④两式得y2+(

2 v 2 d

g

-6R)y+8R2=0⑤
要使的抛物线与圆相切，则方程⑤的△判别式为零，即△=(

2 v 2 d

g

-6R)2-32R2=0
解得：vd=

(3-2 2 )gR

故小球离开轨道d处后，不再碰到轨道，小球离开d出时的速度至少为

(3-2 2 )gR

（3）小球从a到c，由动能定理得：
-μmgL-2mgR=

1

2

m

v

2 c

-

1

2

m

v

2 a

解得v_c=2m/s
由牛顿第二定律得
小球在c点前，F1+mg=m

v 2 c

R

解得F₁=1N，（方向竖直向下）                
小球在c点后，F2-mg=m

v 2 c

R

解得F₂=3N，（方向竖直向上）
答：（1）若小球经d处时，对轨道上臂有压力，则它经过b处时的速度满足vb＞3

gR

条件；
（2）为使小球离开轨道d处后，不会再碰到轨道，则小球离开d出时的速度至少为

(3-2 2 )gR

；
（3）则小球对轨道的压力各为F₁=1N，（方向竖直向下）；F₂=3N，（方向竖直向上）．

点评：考查动能定理、机械能守恒定律、牛顿第二定律与运动学公式等规律的应用，知道向心力的表达式，同时注意受力分析的研究对象确定．