Question

如图8-1所示，质量为m=0.4kg的滑块，在水平外力F作用下，在光滑水平面上从A点由静止开始向B点运动，到达B点时外力F突然撤去，滑块随即冲上半径为 R=0.4米的1/4光滑圆弧面小车，小车立即沿光滑水平面PQ运动。设：开始时平面AB与圆弧CD相切，A、B、C三点在同一水平线上，令AB连线为X轴，且AB=d=0.64m，滑块在AB面上运动时，其动量随位移的变化关系为P=1.6kgm/s，小车质量M=3.6kg，不计能量损失。求：

(1)滑块受水平推力F为多大? (2)滑块通过C点时，圆弧C点受到压力为多大? (3)滑块到达D点时，小车速度为多大? (4)滑块能否第二次通过C点? 若滑块第二次通过C点时，小车与滑块的速度分别为多大? (5)滑块从D点滑出再返回D点这一过程中，小车移动距离为多少? (g取10m/s²)

Answer 1

 分析与解：(1)由P=1.6=mv，代入x=0.64m，可得滑块到B点速度为：

　　　　　 V_B=1.6/m=1.6=3.2m/s

　　　　 A→B，由动能定理得：FS=mVB²

 所以 F=mVB²/(2S)=0.4X3.2²/(2X0.64)=3.2N

(2)滑块滑上C立即做圆周运动，由牛顿第二定律得：

　　　　　 N-mg=mVC²/R 而VC=VB 则　　　　 N=mg+mVC²/R=0.4X10+0.4X3.2²/0.4=14.2N

(3)滑块由C→D的过程中，滑块和小车组成系统在水平方向动量守恒，由于滑块始终紧贴着小车一起运动，在D点时，滑块和小车具有相同的水平速度V_DX 。由动量守恒定律得：mV_C=(M+m)V_DX

所以 V_DX=mV_C/(M+m)=0.4X3.2/(3.6+0.4)=0.32m/s

(4)滑块一定能再次通过C点。因为滑块到达D点时，除与小车有相同的水平速度V_DX外，还具有竖直向上的分速度V_DY，因此滑块以后将脱离小车相对于小车做竖直上抛运动(相对地面做斜上抛运动)。因题中说明无能量损失，可知滑块在离车后一段时间内，始终处于D点的正上方(因两者在水平方向不受力作用，水平方向分运动为匀速运动，具有相同水平速度)， 所以滑块返回时必重新落在小车的D点上，然后再圆孤下滑，最后由C点离开小车，做平抛运动落到地面上。由机械能守恒定律得：

　　　　　　mV_C²=mgR+(M+m)V_DX²+mV_DY²

所以

以滑块、小车为系统，以滑块滑上C点为初态，滑块第二次滑到C点时为末态，此过程中系统水平方向动量守恒，系统机械能守恒(注意：对滑块来说，此过程中弹力与速度不垂直，弹力做功，机械能不守恒)得：

　　　 mV_C=mV_C‘+MV 即mV_C²=mV_C’²+MV²

上式中VC‘、V分别为滑块返回C点时，滑块与小车的速度，

　 　 　V=2mV_C/(M+m)=2X0.4X3.2/(3.6+0.4)=0.64m/s

　　　 V_C’=(m-M)V_C/(m+M)=(0.4-3.6)X3.2/(0.4+3.6)=-2.56m/s(与V反向)

(5)滑块离D到返回D这一过程中，小车做匀速直线运动，前进距离为：

　　　 △S=V_DX2V_DY/g=0.32X2X1.1/10=0.07m