Question

10．一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？
（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？
（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？

Answer 1

分析 首先要确定汽车在何位置时对桥面的压力最大，汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状态，所以当汽车经过凹形桥面的最低点时，汽车对桥面的压力最大．

解答 解：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f．在竖直方向受到桥面向上的支持力N₁和向下的重力G，如图（甲）所示．圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力N₁与重力G的合力为N₁-mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F_向=N₁-mg．
由向心力公式有：
N₁-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得桥面的支持力大小为：
N₁=m$\frac{{v}^{2}}{R}$+mg=（2000×$\frac{2{0}^{2}}{90}$+2000×10）N=28900N
根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是28900N．
（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G和桥面向上的支持力N₂，如图（乙）所示．圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G与支持力N₂ 的合力为mg-N₂，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F_向=mg-N₂，由向心力公式有
mg-N₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得桥面的支持力大小为：N₂=mg-m$\frac{{v}^{2}}{R}$=（2000×10-2000×$\frac{1{0}^{2}}{90}$）=17800N
根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为17800N．
（3）设汽车速度为v_m时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零．根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力就是汽车驶过桥顶点时的向心力，由向心力公式有：
mg=m$\frac{{{v}_{m}}^{2}}{R}$，
解得：v_m=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×90}$=30m/s
汽车以30 m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．
答：（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，汽车对桥面最低点的压力大小是28900N．
（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是17800N；
（3）汽车以30m/s速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．

点评 解决本题的关键搞清向心力的来源，根据牛顿第二定律进行求解，知道汽车对桥面刚好没有压力时，由重力提供向心力，难度适中．