题目内容

设雨点下落过程受到的空气阻力与雨点的横截面积S成正比，与雨点下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k为比例系数）．雨点接近地面时近似看做匀速直线运动，重力加速度为g．若把雨点看做球形，其半径为r，球的体积为 $数学公式$ πr³，设雨点的密度为ρ，求：（1）每个雨点最终的运动速度v_m（用ρ、r、g、k表示）；（2）雨点的速度达到 $数学公式$ v_m时，雨点的加速度a为多大（用g表示）？

解：（1）当f=mg时，雨点达到最终速度v_m，则
$\text{[math]}$
故
$\text{[math]}$
解得
$\text{[math]}$
即每个雨点最终的运动速度 $\text{[math]}$ ．
（2）由牛顿第二定律得：mg-f=ma
则
$\text{[math]}$
解得
$\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$
即雨点的速度达到 $\text{[math]}$ v_m时，雨点的加速度a为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据共点力平衡条件和题意中有关摩擦力的关系式列式求解；
（2）先根据题意求出速度达到 $\text{[math]}$ v_m时的空气阻力，然后根据牛顿第二定律求解加速度．
点评：本题关键是根据阻力表达式和共点力平衡条件或牛顿第二定律列式求解．

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，设雨点的密度为

，求：
(1)每个雨点最终的运动速度

、r、g、k表示）；
(2)雨点的速度达到

时，雨点的加速度a为多大？