Question

3．如图所示，与水平方向成θ=37°的传送带以恒定速度v=4m/s沿逆时针方向转动，两传动轮间距为l_AB=5.8m．一质量为M=1kg的长木板静止在粗糙地面上，其右端靠着传送带．现将一质量为m=1kg且可视为质点的物块轻放在传送带顶端B点，物块沿传送带滑至底端，正好滑上长木板（此过程无机械能损失）．已知物块与传送带间的动摩擦因数为μ₁=0.5，物块与长木板间的动摩擦因数为μ₂=0.4，长木板与地面间的动摩擦因素为μ₃=0.1，重力加速度g=10m/s²；求：

（1）物块刚滑到长木板上的速度大小
（2）从滑块滑上长木板到二者停下的总时间；
（3）为保证滑块不从长木板上滑下，长木板的最小长度．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律可求得物体的加速度，再由运动学公式可求得物块刚滑到长木板上时的速度大小；
（2）分别对滑块和木板进行分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；再由运动学公式明确达共同速度的时间；再对整体分析，由牛顿第二定律及运动学公式可求得停止的时间；
（3）根据运动学公式求得两小球达到共速时所经历的位移，再由位移公式求解各自的位移，即可明确最小长度．

解答 解：（1）物体轻放上传送带，根据牛顿第二定律可得：
mgsinθ+μ₁mgcosθ=ma₁
解得：a₁=10m/s²；
物体以a₁速至v₂：
则有：v₂=2a₁l₁
解得：l₁=0.8m；
到达v之后以a2加速到B：
mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₂
解得：a₂=2m/s²；
到达B速度为v₀：
v²₀-v²=2a₂（l_AB-l₁）
解得：v₀=6m/s
（2）滑块滑上长木板，对滑块有：
μ₂mg=ma₃
解得：a₃=4m/s²；
方向向右；
对长木板：μ₂mg-μ₃（m+M）g=Ma₄
解得：a₄=2m/s²；
方向向左；
二者速度相等经历的时间为t₁：
则由速度公式可得：v₀-a₃t₁=a₄t₁
解得：t₁=1s；
速度为v₁=2m/s；
共速后再共同匀减速，μ₃（M+m）g=（M+m）a₅
解得：a₅=1m/s²
再到停下：t₂=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{5}}$=$\frac{2}{1}$=2s；
故总时间t=t₁+t₂=1+2=3s；
（3）达到共同速度时，滑块的位移x₁=v₀t₁-$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{1}^{2}$=6×1-$\frac{1}{2}×4×1$=4m；
木板的位移x₂=$\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×1$=1m；
故木板的长度至少为：x₁-x₂=4-1=3m；
答：
（1）物块刚滑到长木板上的速度大小为6m/s；
（2）从滑块滑上长木板到二者停下的总时间为3s；
（3）为保证滑块不从长木板上滑下，长木板的最小长度3m．

点评 本题考查牛顿第二定律的应用，涉及两个物体多个过程，要注意正确确定研究对象，做好受力分析，再根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析求解；注意掌握应用加速度的桥梁作用．