Question

如图所示是放置在竖直平面内的游戏滑轨，有一质量m=2kg的小球穿在轨道上．滑轨由四部分粗细均匀的滑杆组成；水平轨道AB；与水平面间的成夹角θ=37⁰且长L=6m的倾斜直轨道CD；半径R=1m的圆弧轨道APC；半径R=3m的圆弧轨道BQED．直轨道与圆弧轨道相切，切点分别为A、B、D、C，E为最低点．倾斜轨道CD与小球间的动摩擦因数μ=

5

32

，其余部分均为光滑轨道，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．现让小球从AB的正中央以初速度v₀=10m/s开始向左运动，问：
（1）第一次经过E处时，轨道对小球的作用力为多大？
（2）小球第一次经过C点时的速度为多大？
（3）小球在运动过程中，损失的机械能最多为多少？

Answer 1

分析：（1）从开始运动到第一次到达E点的过程中运用机械能守恒定律列式，在E点，根据牛顿第二定律列式，联立方程即可求解；
（2）小球从E到C的过程中，有重力和滑动摩擦力做功，结合动能定理列式，联立方程即可求解．
（3）小球最终在BQED圆弧轨道中来回摆动，在D点的速度为零，通过动能和重力势能的减小量求出机械能的损失量．

解答：解：（1）球第一次过E点时，速度大小为v_E，由机械能守恒定律，有：

1

2

mv02+2mgR2=

1

2

mvE2  ①
在E点，根据牛顿第二定律，有
F-mg=m

vE2

R2

     ②
联立①②式，可解得：
轨道对小球的支持力为F=5mg+m

v02

R2

=

500

3

N=167N．
（2）从E到C的过程中，重力做功：
W_G=-mg（Lsin37°+R₂-R₂cos37°） …③
从D到C的过程中，滑动摩擦力做功W_f=-μmgcos37°L …④
设第一次到达C点的速度大小为v_c，小球从E到C的过程中，由动能定理，有

1

2

mvC2-

1

2

mvE2=WG+Wf     ⑤
由①③④⑤式，可解得 v_c=11m/s
（3）物体多次循环运动后，在D点瞬间速度为零．
则机械能的减小量为△E=

1

2

mv02+mgR2(1+cos37°)=208J．
答：（1）第一次经过E处时，轨道对小球的作用力为F_n=167．N
（2）小球第一次经过C点时的速度为V_c=11m/s
（3）小球在运动过程中，损失的机械能最多为208J．

点评：个题目可能需要选择不同的过程多次运用动能定理研究．
圆周运动问题关键要通过受力分析找出向心力的来源列出等式解决问题．