Question

3．自然界时刻发生着你死我活的奔跑赛，胆小势弱的羚羊从静止开始奔跑，经过x₁=50m的距离能加速到最大速度v₁=25m/s，并能维持该速度一段较长的时间；猎豹从开始奔跑，经过x₂=60m的距离能加速到最大速度v₂=30m/s，以后只能维持这个速度t₀=4.0s，接着做加速度大小为a=2.5m/s²的匀减速运动直到停止． 设猎豹距离羚羊x时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后t'=0.5s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑． 则：
（1）猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围？
（2）猎豹要在其减速前追到羚羊，x值应在什么范围？

Answer 1

分析 （1）猎豹要在其加速阶段追上羚羊，只要猎豹运动时间小于其加速的最大时间即可，然后根据位移关系列方程即可正确求解．
（2）抓住猎豹和羚羊加速的时间相等，可知猎豹追到羚羊时，羚羊早已在做匀速运动，只是匀速运动的时间比猎豹少了0.5s，根据猎豹和羚羊之间的位移关系列方程即可正确求解．

解答 解：（1）羚羊做加速运动的加速度大小为：
a₁═$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{x}_{1}}=\frac{2{5}^{2}}{2×50}m/{s}^{2}$m/s²=6.25m/s²　
羚羊做加速运动的时间为：
t₁═$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{25}{6.25}s$s=4.0s　
而猎豹做加速运动的加速度为：
a₂=$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2{x}_{2}}=\frac{900}{2×60}$m/s²=7.5m/s²　
猎豹做加速运动的时间为：
t₂=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}=\frac{30}{7.5}s$=4.0s　
因t₂=t₁，猎豹要在其加速阶段追上羚羊，猎豹运动的时间t≤4s
所以，猎豹追上羚羊时，羚羊也正在加速运动，则有：
$\frac{1}{2}$a₂t²≥$\frac{1}{2}$a₁（t-t'）²+x
代入数据解得：x≤21.7m．　
（2）设猎豹在维持最大速度的时间内追到羚羊，由题意得总时间为：t≤8.0s
由t₂=t₁可知，当猎豹进入匀速运动过程0.5s后，羚羊将做匀速运动．所以，当猎豹追到羚羊时，羚羊早已在做匀速运动，只是匀速运动的时间比猎豹少了0.5s，则有：
x₂+v₂t₀≥x₁+x+v₁（t₀-t'）　
代入数据解得：x≤42.5m　
综合（1）问可知21.7m＜x＜42.5m．
答：（1）猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值的范围为x≤21.7m．　
（2）猎豹要在其减速前追到羚羊，x值的范围为21.7m＜x＜42.5m．

点评 对于追及问题一是要熟练应用运动学公式，二是明确追者和被追者之间的位移、时间关系，根据位移、时间关系列方程即可正确求解．