Question

如右图所示，一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，在其外部产生一个中心辐射的磁场（磁场水平向外），其大小为B=k/r（其中r为辐射半径--考察点到圆柱形磁铁中心轴线的距离，k为常数），设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R（大于圆柱形磁铁的半径），圆环通过磁场由静止开始下落，下落过程中圆环平面始终水平，已知铝丝电阻为R₀，密度为m，当地的重力加速度为g，试求：
（1）圆环下落的速度为v时的电功率多大？
（2）圆环下落的最终速度v_m是多大？
（3）如果从开始到下落高度为h时，速度最大，经历的时间为t，这一过程中圆环中电流的有效值I₀是多大？

Answer 1

分析：（1）根据切割产生的感应电动势，抓住切割的有效长度求出感应电动势的大小，通过闭合电路欧姆定律求出电流的大小，从而求出圆环下落的速度为v时的电功率．
（2）当重力等于安培力时，速度最大，根据平衡，结合切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律以及安培力大小公式求出最终的速度大小．
（3）根据能量守恒定律求出这一过程中圆环中电流的有效值．

解答：解：（1）由题意知铝圆环所在处在磁感应强度B为B=

k

r

圆环的有效切割长度为其周长即L=2πR
当环速度为v时，切割磁感线产生的电动势为：E=BLv=2kπv
铝圆环中的电流为：I=

E

R0

故圆环速度为v时电功率为：P=I²R₀
联立以上各式解得：P=

4k2π2v2

R0

（2）当圆环加速度为零时，有最大速度v_m，此时安培力
F=BIL=

B2L2vm

R0

由平衡条件可知：mg=F
得：v_m=-

mgR0

B2L2

（3）由能量守恒定律得：mgh=

1

2

mvm2+I02R0t．
得：I₀=(

mgh- 1 2 mvm2

R0t

)

1

2

．
答：（1）圆环下落的速度为v时的电功率P=

4k2π2v2

R0

（2）圆环下落的最终速度v_m是

mgR0

B2L2

．
（3）这一过程中圆环中电流的有效值I₀是(

mgh- 1 2 mvm2

R0t

)

1

2

．

点评：本题考查电磁感应与力学以及能量的综合，掌握切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律等知识，知道当重力等于安培力时，速度最大．