题目内容

（2012?海淀区模拟）如图所示，有 n（n＞10）个相同的小物块（可视为质点）静止在倾角为 θ 的倾斜轨道上，物块与轨道间的动摩擦因数均为 μ．每个物块的质量均为 m，相邻物块间的距离均为 l，最下端的物块到轨道底端的距离也为 l．使第1个物块以某一初速度 v0沿轨道开始下滑，在每次发生碰撞时物块都立即粘合在一起运动，最后n 个物块粘在一起后恰好停在轨道的底端．已知空气阻力可忽略不计，重力加速度为g．
（1）求第一次碰撞前瞬间小物块1的速度v1的大小；
（2）设第5次碰撞前的瞬间运动物块的动能为Ek5，第5次碰撞过程中系统损失的机械能为E损5，求E损5和Ek5的比值；
（3）求下滑的整个过程中由于相互碰撞而损失的机械能．
分析：（1）对于物块1下滑l的过程，由动能定理列式即可求得v1的大小；
（2）设第5次碰撞前，5个物块一起运动的速度大小为v5，对第5次碰撞，由动量守恒定律列式，根据动能的表达式写出碰撞前运动物块的动能，进而求出碰撞过程中系统损失的机械能即可求解；
（3）求出n个木块运动和碰撞的全过程中重力做的总功和克服摩擦做的总功，根据做功与能量变化的关系列式即可求解．
解答：解：（1）对于物块1下滑l的过程，由动能定理得mglsinθ-μmglcosθ=
1
2
m
v
2
1
-
1
2
m
v
2
0

得  v1=
v
2
0
+2gl(sinθ-μcosθ)

（2）设第5次碰撞前，5个物块一起运动的速度大小为v5，对第5次碰撞，由动量守恒定律有  5mv5=（5m+m）v'5
碰撞前运动物块的动能为Ek5=
1
2
×5m
v
2
5

碰撞过程中系统损失的机械能为E损5=
1
2
×5m
v
2
5
-
1
2
×6mv
′
2
5

解得
E损5
Ek5
=
1
6
              
（3）对n个木块运动和碰撞的全过程
重力做的总功WG=mglsinθ(1+2+3+…+n)=
n(n+1)
2
mglsinθ
克服摩擦做的总功Wf=μmgcosθ?l(1+2+3+…+n)=
n(n+1)
2
μmglcosθ
设整个过程中由于相互碰撞而损失的机械能为E损总，则根据做功与能量变化的关系有WG+
1
2
mv02=Wf+E损总
由以上各式求出  E损总=
1
2
mv02+
n(n+1)
2
mgl(sinθ-μcosθ)
答：（1）第一次碰撞前瞬间小物块1的速度v1的大小为
v
2
0
+2gl(sinθ-μcosθ)
；
（2）E损5和Ek5的比值为
1
6
；
（3）下滑的整个过程中由于相互碰撞而损失的机械能为
1
2
mv02+
n(n+1)
2
mgl(sinθ-μcosθ)．
点评：本题主要考查了动能定理、动量守恒定律及功能关系的直接应用，过程较为复杂，难度适中．
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