Question

在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h．汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.5倍．
（1）如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？（取g=10m/s²）

Answer 1

分析：（1）汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力是车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，写出运动学方程，即可求得结果．
（2）汽车过拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，重力与支持力的合力提供向心力；为了保证安全，车对路面间的弹力F_N必须大于等于零．

解答：解：（1）汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力是车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有：F_m=0.5mg≥m

v2

r

由速度v=30m/s，解得弯道半径为：r≥180m；
（2）汽车过拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有：mg-F_N=m

v2

R

为了保证安全，车对路面间的弹力F_N必须大于等于零．有 mg≥m

v2

R

代入数据解得：R≥90m．
答：（1）弯道的最小半径是180m；
（2）这个圆弧拱桥的半径至少是90m．

点评：该题考查汽车在水平面内的转弯问题与在竖直平面内过拱形桥的问题，属于向心力的基本应用，中档题目．