Question

10．如图所示，传送带以一定速度沿水平方向匀速运动，将质量m=1.0kg的小物块轻轻放在传送带上的P点，物块运动到A点后被水平抛出，小物块恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑．B、C为圆弧的两端点，其连线水平，轨道最低点为O，已知圆弧对应圆心角θ=106°，圆弧半径R=1.0m，A点距水平面的高度h=0.8m，小物块离开C点后恰好能无碰撞地沿固定斜面向上滑动，经过 0.8s小物块 第二次经过D点，已知小物块与斜面间的动摩擦因数μ=$\frac{1}{3}$．（取sin53°=0.8，g=10m/s²）求：
（1）小物块离开A点时的水平速度大小；
（2）小物块经过O点时，轨道对它的支持力大小；
（3）斜面上C、D间的距离．

Answer 1

分析 （1）小物块离开A点后做平抛运动，根据经过B点的速度方向与竖直下落高度，求A点水平初速μ＜度的大小；
（2）由动能定理求出物块经过O点的速度，根据牛顿第二定律求解轨道对小物块的支持力；
（3）根据牛顿第二定律求出物块在斜面上运动的加速度，由运动学公式求解C、D间的距离．

解答 解：（1）对于小物块，由A到B做平抛运动，在竖直方向上有
  v_y²=2gh ①
在B点时有tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{A}}$ ②
由①②解得 v_A=3m/s
（2）小物块在B点的速度为 v_B=$\sqrt{{v}_{A}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
由B到O由动能定理（或机械能守恒定律）得
  mgR（1-sin37°）=$\frac{1}{2}$mv_O²-$\frac{1}{2}$mv_B²；
由牛顿第二定律得 F_N-mg=m$\frac{{v}_{O}^{2}}{R}$
解得F_N=43N
（3）物块沿斜面上滑时，有 mgsin53°+μmgcos53°=ma₁
v_C=v_B=5m/s
小物块由C上升到最高点的时间为 t₁=$\frac{{v}_{C}}{{a}_{1}}$=0.5s
则小物块由斜面最高点回到D点历时
  t₂=0.8s-0.5s=0.3s
小物块沿斜面下滑时，由牛顿第二定律得
  mgsin53°-μmgcos53°=ma₂
C、D间的距离为 x_CD=$\frac{{v}_{C}}{2}$t₁-$\frac{1}{2}$a₂t²=0.98m．
答：
（1）小物块离开A点时的水平速度大小为3m/s．　
（2）小物块经过O点时，轨道对它的支持力大小为43N．　
（3）斜面上C、D间的距离是0.98m．

点评 本题是平抛运动与圆周运动及动力学问题的综合，解决问题的关键是掌握相关基础知识，分过程处理．