据探测.宇宙中可能存在一种远离其他恒星的四星系统.其中有一种四星系统的模型如图所示.在边长为R的正三角形的三个顶点上各有一质量为m的星体.在三角形的中心有质量为M的另一颗星.处在三角形顶点上的三颗星均绕处于静止状态的位于三角形中心的星体做匀速圆周运动.不考虑其他星体对该系统的影响.已知引力常量为G.求三角形顶点上的星体做匀速圆周运动的周期和线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

据探测，宇宙中可能存在一种远离其他恒星的四星系统，其中有一种四星系统的模型如图所示，在边长为R的正三角形的三个顶点上各有一质量为m的星体，在三角形的中心有质量为M的另一颗星，处在三角形顶点上的三颗星均绕处于静止状态的位于三角形中心的星体做匀速圆周运动，不考虑其他星体对该系统的影响，已知引力常量为G，求三角形顶点上的星体做匀速圆周运动的周期和线速度．

分析先写出任意两个星星之间的万有引力，求每一颗星星受到的合力，该合力提供它们的向心力．
然后用R表达出它们的轨道半径，最后写出用周期和线速度表达的向心力的公式，整理即可的出结果．

解答解：对顶点上的任一星体受到其它星体的万有引力，有：${F}_{1}^{\;}={F}_{2}^{\;}=G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}$
匀速圆周运动的轨道半径为：$r=\frac{\frac{R}{2}}{cos30°}=\frac{R}{\sqrt{3}}$
${F}_{3}^{\;}=G\frac{Mm}{（\frac{R}{\sqrt{3}}）_{\;}^{2}}=3G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
对任一星体受到的合力为：${F}_{合}^{\;}=\sqrt{3}{F}_{1}^{\;}+{F}_{3}^{\;}$=$\frac{\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}+3G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
根据万有引力提供向心力，有：$\frac{\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}+3G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$v=\sqrt{\frac{Gm}{R}+\frac{\sqrt{3}GM}{R}}=\sqrt{\frac{G（m+\sqrt{3}M）}{R}}$
周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πR}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{R}{G（m+\sqrt{3}M）}}$=$2πR\sqrt{\frac{R}{G（3m+3\sqrt{3}M）}}$
答：三角形顶点上的星体做匀速圆周运动的周期$2πR\sqrt{\frac{R}{G（3m+3\sqrt{3}M）}}$和线速度$\sqrt{\frac{G（m+\sqrt{3}M）}{R}}$

点评解决该题首先要理解模型所提供的情景，然后能够列出合力提供向心力的公式，才能正确解答题目．

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19．

如图甲所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R₁连接成闭合回路，线圈的半径为r₁．在线圈中半径为r₂的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示．图线与横、纵轴的截距分别为t₀和B₀．导线的电阻不计．在0至t₁时间内通过R₁的电流大小和方向．（　　）

	A．	电流大小为$\frac{πn{B}_{0}{r}_{1}^{2}}{3R{t}_{0}}$，电流方向由a到b通过R₁
	B．	电流大小为$\frac{πn{B}_{0}{r}_{2}^{2}}{3R{t}_{0}}$，电流方向由a到b通过R₁
	C．	电流大小为$\frac{πn{B}_{0}{r}_{1}^{2}}{3R{t}_{0}}$，电流方向由b到a通过R₁
	D．	电流大小为$\frac{πn{B}_{0}{r}_{2}^{2}}{3R{t}_{0}}$，电流方向由b到a通过R₁

20．甲乙两个同学共同做“验证牛顿第二定律”的实验，装置如图所示．　　
①两位同学用砝码盘（连同砝码）的重力作为小车（对象）受到的合外力，需要平衡桌面的摩擦力对小车运动的影响．他们将长木板的一端适当垫高，在不挂砝码盘的情况下，小车能够自由地做匀速直线运动．另外，还应满足砝码盘（连同砝码）的质量m远小于小车的质量M．（填“远小于”、“远大于”或“近似等于”）接下来，甲同学研究：在保持小车的质量不变的条件下，其加速度与其受到的牵引力的关系；乙同学研究：在保持受到的牵引力不变的条件下，小车的加速度与其质量的关系．

②甲同学通过对小车所牵引纸带的测量，就能得出小车的加速度a．图2是某次实验所打出的一条纸带，在纸带上标出了5个计数点，在相邻的两个计数点之间还有4个点未标出，图中数据的单位是cm．实验中使用的电源是频率f=50Hz的交变电流．根据以上数据，可以算出小车的加速度a=0.343m/s²．（结果保留三位有效数字）
③乙同学通过给小车增加砝码来改变小车的质量M，得到小车的加速度a与质量M的数据，画出a-$\frac{1}{M}$图线后，发现：当$\frac{1}{M}$较大时，图线发生弯曲．于是，该同学后来又对实验方案进行了进一步地修正，避免了图线的末端发生弯曲的现象．那么，该同学的修正方案可能是A．
A．改画a与$\frac{1}{M+m}$的关系图线 B．改画a与（M+m）的关系图线
C．改画 a与$\frac{m}{M}$的关系图线 D．改画a与$\frac{1}{（M+m）^{2}}$的关系图线．

17．

在用如图做验证机械能守恒定律实验时，发现重物减少的重力势能总是大于重物增加的动能，造成这种现象的原因是（　　）

	A．	选用的重物质量过大
	B．	重物质量测量不准确
	C．	空气对重物的阻力和打点计时器对纸带的阻力
	D．	实验时操作不太仔细，实验数据测量不准确

4．某同学采用如图甲所示的装置来“探究动能定理”．
（1）图甲中，小车处于待释放状态，不恰当的地方有：①小车离打点计时器太远；②定滑轮与小车之间的细线没有与木板平行；③没有平衡摩擦力．