题目内容
如图甲所示，竖直面MN的左侧空间存在竖直向上的匀强电场（上、下及左侧无边界）．一个质量为m、电量为q的可视为质点的带正电的小球，以大小为V0的速度垂直于竖直面MN向右作直线运动．小球在t=0时刻通过电场中的P点，为使小球能在以后的运动中竖直向下通过D点（P、D间距为L，且它们的连线垂直于竖直平面MN，D到竖直面MN的距离DQ等于L/π），经过研究，可以在电场所在的空间叠加如图乙所示随时间周期性变化的、垂直纸面向里的磁场．（g=10m/s2）求：
（1）场强E的大小；
（2）如果磁感应强度B0为已知量，试推出满足条件t1的表达式；
（3）进一步的研究表明，竖直向下的通过D点的小球将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B0及运动的最大周期T的大小，并在图中定性画出小球运动一个周期的轨迹（只需要画出一种可能的情况）
（1）场强E的大小；
（2）如果磁感应强度B0为已知量，试推出满足条件t1的表达式；
（3）进一步的研究表明，竖直向下的通过D点的小球将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B0及运动的最大周期T的大小，并在图中定性画出小球运动一个周期的轨迹（只需要画出一种可能的情况）
分析：（1）小球受到电场力与重力相平衡，即可求解；
（2）根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系，从而即可求解；
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T0也增加，由周期公式结合长度关系，可求出磁感应强度，由运动轨迹，可求出最大周期．并画出运动轨迹．
（2）根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系，从而即可求解；
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T0也增加，由周期公式结合长度关系，可求出磁感应强度，由运动轨迹，可求出最大周期．并画出运动轨迹．
解答：解：（1）小球进入电场，做匀速直线运动时 Eq=mg①
解得：E=
②
（2）在t1时刻加磁场，小球在时间t0内做匀速圆周运动，设圆周运动周期为T0，半径为R．
竖直向下通过D点，则：t0=
T0 ③
Bqv0=m
④
PF-PD=R
即v0t1-L=R⑤
将③、④代入⑤式解得：t1=
+
⑥
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T0也增加，小球在电场中的运动周期T也增加．
在小球不飞出电场的情况下，当T最大时，有：
DQ=2R 即
=
⑥
T0=
=
⑦
结合⑥⑦式解得：B0=
⑧
T0=
⑨
结合轨迹图可知，小球在电场中运动的最大周期，T=4×(
+t0)⑩
结合上式解得：T=
小球在电场中运动一个周期的轨迹图如图所示；
答：（1）场强E的大小E=
；
（2）如果磁感应强度B0为已知量，试推出满足条件t1的表达式得：t1=
+
；
（3）磁感应强度B0及运动的最大周期T的大小：T=
，小球运动一个周期的轨迹如上图所示．
解得：E=
| mg |
| q |
（2）在t1时刻加磁场，小球在时间t0内做匀速圆周运动，设圆周运动周期为T0，半径为R．
竖直向下通过D点，则：t0=
| 3 |
| 4 |
Bqv0=m
| v02 |
| R |
PF-PD=R
即v0t1-L=R⑤
将③、④代入⑤式解得：t1=
| L |
| v0 |
| m |
| qB0 |
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T0也增加，小球在电场中的运动周期T也增加．
在小球不飞出电场的情况下，当T最大时，有：
DQ=2R 即
| L |
| π |
| 2mv0 |
| qB0 |
T0=
| 2πR |
| v0 |
| 2πm |
| B0q |
结合⑥⑦式解得：B0=
| 2πmv0 |
| qL |
T0=
| L |
| v0 |
结合轨迹图可知，小球在电场中运动的最大周期，T=4×(
| 3T0 |
| 4 |
结合上式解得：T=
| 6L |
| v0 |
小球在电场中运动一个周期的轨迹图如图所示；
答：（1）场强E的大小E=
| mg |
| q |
（2）如果磁感应强度B0为已知量，试推出满足条件t1的表达式得：t1=
| L |
| v0 |
| m |
| qB0 |
（3）磁感应强度B0及运动的最大周期T的大小：T=
| 6L |
| v0 |
点评：考查粒子受到电场力与洛伦兹力作用，涉及匀速直线运动与匀速圆周运动，掌握平衡方程与牛顿第二定律的方程，注意几何知识在题中的应用，并掌握运动轨迹的对称性．
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