Question

7．行星中的金星和火星，设它们的轨道半径分别为r₁、r₂（已知太阳质量为M、引力常量G）
（1）求它们的线速度，角速度，周期之比；
（2）某时刻金星、火星相距最近（太阳中心、金星、火星在同一直线上且在太阳同侧），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出线速度、角速度、周期与轨道半径的关系，从而得出线速度、角速度、周期之比．
当两者转过的角度之差等于2π时，再一次相距最近．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，
轨道半径之比为r₁：r₂，
则线速度之比为$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，角速度之比$\frac{{ω}_{1}}{{ω}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，周期之比为$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$．
（2）当金星和火星的站点的角度之差为2π时，再一次相距最近．
金星的角速度${ω}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}$，${ω}_{2}=\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}$，
根据ω₁t-ω₂t=2π，
解得t=$\frac{2π}{{ω}_{1}-{ω}_{2}}$=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}-\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}}$．
答：（1）它们的线速度，角速度，周期之比分别为$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$、$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$、$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$．
（2）经过$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}-\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}}$时间它们再一次相距最近

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．