Question

19．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3．轨道1和2相切于Q点，轨道2和3相切于P点．设1轨道和3轨道的半径分别为R₁、R₃．则卫星（　　）

• A． 在2、3轨道的机械能相等
• B． 在2轨道经过P点时的速度大于在3轨道经过P点时的速度
• C． 在2、3轨道运行的周期之比$\sqrt{\frac{（{R}_{1}+{R}_{3}）^{3}}{8{{R}_{3}}^{3}}}$
• D． 在1、3轨道运行的速度之比$\sqrt{\frac{{R}_{1}}{{R}_{3}}}$

Answer 1

分析 根据变轨的原理分析轨道2上的P点和轨道3上P点的速度大小，以及在两个轨道上的机械能大小．根据开普勒第三定律得出在轨道2、3上运行的周期之比．根据万有引力提供向心力得出线速度的表达式，通过轨道半径之比求出线速度之比．

解答 解：A、从轨道2进入轨道3，在P点需加速，可知轨道3上的机械能大于轨道2上的机械能，故A错误．
B、从轨道2进入轨道3，需在P点加速，可知在轨道2经过P点的速度小于轨道3上经过P点的速度，故B错误．
C、根据开普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=C$知，轨道2的半长轴a=$\frac{{R}_{1}+{R}_{3}}{2}$，轨道3的半径为R₃，可知$\frac{{T}_{2}}{{T}_{3}}=\sqrt{\frac{{a}^{3}}{{{R}_{3}}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{（{R}_{1}+{R}_{3}）^{3}}{8{{R}_{3}}^{3}}}$，故C正确．
D、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，因为轨道1和3的半径之比为R₁：R₃，则运行速度之比为$\sqrt{\frac{{R}_{3}}{{R}_{1}}}$，故D错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键知道卫星变轨的原理以及掌握开普勒第三定律，知道卫星做圆周运动时，靠万有引力提供向心力，知道线速度与轨道半径的关系．