Question

如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，自然长度为1m，上面连接一个质量为m₁=1kg的物体，平衡时物体离地面0.9m．距物体m₁正上方高为0.3m处有一个质量为m₂=1kg的物体自由下落后与弹簧上物体m₁碰撞立即合为一体，一起在竖直面内做简谐运动．当弹簧压缩量最大时，弹簧长为0.6m．求：
（1）碰撞结束瞬间两物体的动能之和是多少？
（2）两物体一起做简谐运动时振幅大小是多少？

Answer 1

分析：（1）由自由落体运动的公式求出物体m₂碰撞前的速度．
两物体碰撞过程遵守动量守恒，由动量守恒定律求出碰撞后两物体的速度，再求碰撞结束瞬间两物体的动能之和．
（2）振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离．当弹簧的弹力与两物体的重力平衡时，由胡克定律求出弹簧被压缩的长度，根据弹簧的最大压缩量，求出振幅．

解答：解：（1）根据机械能守恒得：
mgh=

1

2

m

v

2 0

物体m₂碰撞前的速度v₀=

2gh

=

6

m/s．
设碰撞后两物体的速度为v，则由动量守恒定律得
    m₂v₀=（m₁+m₂）v
得到v=

m2v0

m1+m2

所以碰撞结束瞬间两物体的动能之和E_k=

1

2

（m₁+m₂）v²
代入解得   E_k=1.5J．
（2）由题开始状态，平衡时物体m₁离地面0.9m，
则弹簧的劲度系数k=

F

x1

=

m1g

x1

=100N/m．
碰撞后，当两物体的重力与弹力平衡时，
弹簧被压缩的长度x₂=

(m1+m2)g

k

=0.2m．
两物体一起做简谐振动时振幅的大小A=x₀-x₂-l₃=1m-0.2m-0.6m=0.2m．
答：（1）碰撞结束瞬间两物体的动能之和是1.5J．
    （2）两物体一起做简谐振动时振幅的大小是0.2m．

点评：本题根据振幅的定义求解振幅A．对于碰撞过程，基本规律是动量守恒．本题是中等题．