Question

5．如图所示，两个截面半径均为r、质量均为m的半圆柱体A、B放在粗糙水平面上，A、B截面圆心间的距离为l．在A、B上放一个截面半径为r、质量为2m的光滑圆柱体C，A、B、C始终都处于静止状态．求：①B对地面压力；②地面对A的作用力；③若l越小，判断地面对A的摩擦力如何变化？（要求用图解法解答第③问）

Answer 1

分析 ①以三个物体组成的整体为研究对象，根据平衡条件求地面对B的支持力，由牛顿第三定律即可求出B对地面的压力；
②地面对A有支持力和摩擦力两个力作用，地面对A的作用力是它们的合力；以C为研究对象，分析受力情况，由平衡条件C对A的弹力．以A为研究对象，根据平衡条件求地面对A的摩擦力，由力的合成得到地面对A的作用力．
③若l越小，以C为研究对象，用图解法分析A对C的弹力如何变化．再以A为研究对象，用图解法分析地面对A的摩擦力如何变化．

解答 解：①以三个物体组成的整体为研究对象，受到总重力和地面对A和B支持力，两个支持力大小相等，设为N₁，则由平衡条件得：
2N₁=4mg，
得：N₁=2mg，
由牛顿第三定律得知B对地面的压力大小也为2mg；
②地面对A有支持力和摩擦力两个力作用，地面对A的作用力是它们的合力；以C为研究对象，根据平衡条件可得：
2N₂′cosθ=2mg
又由几何知识得：cosθ=$\frac{\sqrt{（2r）^{2}-（0.5l）^{2}}}{2r}$，sinθ=$\frac{0.5l}{2r}$=$\frac{l}{4r}$
联立解得：N₂′=$\frac{4mgr}{\sqrt{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$
以A为研究对象，A受到重力mg、地面的支持力N₁、摩擦力f、C球的压力N₂．由牛顿第三定律有：N₂=N₂′=$\frac{4mgr}{\sqrt{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$
如图所示，根据平衡条件知：f=N₂sinθ=$\frac{mgl}{\sqrt{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$

所以地面对A的支持力N₁和摩擦力f的合力 F_合=$\sqrt{{f}^{2}+{N}_{2}^{2}}$=mg$\sqrt{\frac{16{r}^{2}+{l}^{2}}{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$
即地面对A的作用力为F_合=mg$\sqrt{\frac{16{r}^{2}+{l}^{2}}{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$．
③下图中黑线表示l减小前C、A的受力情况，蓝线表示l减小后的受力情况，由图知l越小，地面对A的摩擦力f越小．

答：①B对地面压力是2mg；
②地面对A的作用力为mg$\sqrt{\frac{16{r}^{2}+{l}^{2}}{16{r}^{2}-{l}^{2}}}$；
③l越小，地面对A的摩擦力f越小．

点评 本题是三个物体的平衡问题，首先要灵活选择研究对象，其次要正确分析受力情况．可运用函数法和图解法两种方法f的变化．