题目内容

如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，问：
（1）要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
（2）若盒子以第（1）问中周期的 $数学公式$ 做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O点位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？

解：（1）设此时盒子的运动周期为T₀，因为在最高点时盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用．根据牛顿运动定律得：
$\text{[math]}$
又周期T₀= $\text{[math]}$
解之得： $\text{[math]}$
（2）设此时盒子的运动周期为T，则此时小球的向心加速度为： $\text{[math]}$
由第一问知： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$
由上述三式知：a_n=4g
设小球受盒子右侧面的作用力为F，受上侧面的作用力为N，根据牛顿运动定律知：
在水平方向上：F=ma_n
即：F=4mg
在竖直方向上：N+mg=0
即：N=-mg
因为F为正值、N为负值，所以小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，分别为4mg和mg．
答：（1）该盒子做匀速圆周运动的周期为2 $\text{[math]}$ ．
（2）小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，分别为4mg和mg．
分析：（1）要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得线速度v，周期T₀= $\text{[math]}$ ．
（2）小球的向心加速度为 $\text{[math]}$ ，结合第1问的结果得到a_n．根据牛顿运动定律，运用正交分解法分别研究水平和竖直两个方向小球受到的作用力．
点评：本题运用牛顿运动定律研究竖直平面内圆周运动问题，关键是确定向心力的来源，第2问，运用正交分解时要注意竖直方向上没有加速度．