Question

11．如图所示，AB段是光滑斜面，水平段BC使用长度可调的水平传送带，BC长计为L，传送带顺时针转动的速率v₀=2m/s，设质量为m=0.1kg的小物块由静止开始从距水平传送带高为h处下滑，经过B点的拐角处无机械能损失，物块与传送带间的滑动摩擦因数μ=0.4．小物块随传送带运动到C点后水平抛出，恰好无碰撞的沿着圆弧切线从D点进入竖直面内的光滑圆弧轨道DMN，并沿轨道恰好通过最高点N，O为圆弧的圆心，MN为其竖直直径，OD与竖直方向的夹角为60°，圆弧半径R=0.9m．试求：
（1）小物块经过M点时对圆弧轨道的压力的大小；
（2）小物块离开C点时的速度大小；
（3）高度h与BC长度L满足的关系；
（4）若h=1.25m，则运动过程中产生的热量Q为多少？

Answer 1

分析 （1）小物块沿轨道恰好通过最高点N，可得在N点时的速度大小，应用动能定理可得在M点时的速度大小，由牛顿第二定律求得经过M点时圆弧轨道的支持力的大小，从而由牛顿第三定律得到对圆弧轨道的压力的大小．
（2）从D到M点应用动能定理可得在D点时的速度大小，由于恰好无碰撞的沿着圆弧切线从D点进入竖直面内的光滑圆弧轨道DMN，对D点的速度进行分解，有几何关系可得水平方向的分速度，就是从C点抛出时的速度．
（3）结合（2）的结果，对于物块从A到C得运动应用动能定理或牛顿运动定律求解即可．
（4）若h=1.25m，结合（2）的结果可得则运动过程中摩擦力的负功，该负功将产生产生的热量Q．

解答 解：（1）小物块沿轨道恰好通过最高点N，可得在N点时的速度大小v₁满足：mg=$\frac{{mv}_{1}^{2}}{R}$         ①
物体从M到N应用动能定理可得，-mg•2R=$\frac{1}{2}$${mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}$${mv}_{M}^{2}$          ②
在M点，轨道的支持力为F_N，由牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{{mv}_{M}^{2}}{R}$          ③
由牛顿第三定律可得，小物块经过M点时对圆弧轨道的压力F=F_N ④
解①②③④得，F=6mg=6×0.1×10N=6N
（2）从N到D应用动能定理可得，mgR（1+cos60°）=$\frac{1}{2}$${mv}_{D}^{2}-\frac{1}{2}$${mv}_{N}^{2}$           ⑤
由于恰好无碰撞的沿着圆弧切线从D点进入竖直面内的光滑圆弧轨道DMN，故有水平方向的分速度为v_x=v_Dcos60°   ⑥
而v_C=v_x ⑦
由①⑤⑥⑦得，v_C=$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$=2.12m/s
（3）由于v_C＞v₀，物块在传送带上始终做匀减速运动，对于物块从下滑开始到抛出的过程有动能定理可得：
mgh-$μmgL=\frac{1}{2}$${mv}_{C}^{2}$       ⑧
带入数据得高度h与BC长度L满足的关系：5h-2L=2.2      ⑨
（4）若h=1.25m，则运动过程中产生的热量Q=μmgL（10）
联立⑨（10）并代入数据得，Q≈0.8J
答：（1）小物块经过M点时对圆弧轨道的压力为6N；
（2）小物块离开C点时的速度大小为2.12m/s；
（3）高度h与BC长度L满足的关系为5h-2L=2.2；
（4）若h=1.25m，则运动过程中产生的热量Q为0.8J．

点评 此题是一道非常好的题，考察到了多个知识点．
首先是考察到了机械能守恒定律，我们要了解机械能守恒定律的条件和表达式，在机械能的表达式上要注意灵活，可从守恒的角度写成E₁=E₂或△E=0，可从能量转化的角度写成△E_k增=△E_p减，从两物体间能的转移角度写成△E_A增=△E_B减．
第二是考察到了相对速度不为零的两物体间的运动，此方面的题关键是要判断能否具有共同速度或在什么时间、位置上两物体具有共同速度．
对于圆周运动的问题，首先要经过受力分析表示出向心力，再结合各物理量表示的向心力的式子进行求解．