Question

14．如图所示的模型中，小车放在光滑的水平轨道上，一切摩擦不计，小球的质量为m，小车质量为M，M=m，开始时小车静止，在甲、乙图中小球的初速度为v₀，在丙图中小球的初速度为零，设甲图小球不能达到车的高度，乙图小球不能越过小车，丙图中圆弧半径为R，求小球上升的最大高度（离圆弧最低点的高度）各是多少？

Answer 1

分析 根据动量守恒定律可明确达最高点时的速度，再由机械能守恒定律可求得上升的高度．

解答 解：设向右为正方向，则对甲球，由动量守恒定律可知：
mv₀=（M+m）v
由机械能守恒定律可知：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+mgh
解得h=$\frac{m{{v}^{2}}_{0}}{2（M+m）g}=\frac{{{v}^{2}}_{0}}{4g}$；
对乙图可知：
mv₀=（M+m）v
由机械能守恒定律可知：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+mgh
解得：h=$\frac{m{{v}^{2}}_{0}}{2（M+m）g}=\frac{{{v}^{2}}_{0}}{4g}$；
对丙图设向右为正方向，由动量守恒可知：
小物体向上运动的过程中，m与M组成的系统在水平方向的动量守恒：
设小球滑至最高点时m与M的共同速度为v′
所以  mv=（M+m）v′
解得：$v′=\frac{m}{M+m}\sqrt{2gR}$    
此过程中系统机械能守恒，所以
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）v{′}^{2}=mgh$     
解得m上升的最大高度：$h=\frac{M}{M+m}R$=$\frac{R}{2}$．
答：甲、乙两图中上升的高度均为$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g}$；丙图中为$\frac{R}{2}$．

点评 本题考查动量守恒定律的应用及机械能守恒定律，要注意明确达最高点时的条件，正确选择正方向，才能可准确利用规律求解．