Question

6．宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因为万有引力的作用而吸引在一起．设两者的质量分别为m₁和m₂，两者相距为L．双星的轨道半径之比v₁：v₂=m₂：m₁；双星的角速度为$\sqrt{\frac{G（{{m}_{1}+m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比；根据万有引力提供向心力求出角速度的大小．

解答 解：对两天体，由万有引力提供向心力，可分别列出
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁ω²R₁…①
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂ω²R₂…②
所以 $\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$，即它们的轨道半径之比等于质量的反比，
v=ωr，所以v₁：v₂=m₂：m₁，
由①式得ω²=G $\frac{{m}_{2}}{{{L}^{2}R}_{1}}$=G $\frac{{m}_{2}}{{L}^{2}（{L-R}_{2}）}$…③
由②式得R₂=G $\frac{{m}_{1}}{{{L}^{2}ω}^{2}}$…④
④式代入③式得ω=$\sqrt{\frac{G（{{m}_{1}+m}_{2}）}{{L}^{3}}}$，
故答案为：m₂：m₁；$\sqrt{\frac{G（{{m}_{1}+m}_{2}）}{{L}^{3}}}$

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．