题目内容

如图所示,水平桌面上有一轻弹簧,左端固定在A点,自然状态时其右端位于B点.水平桌面右侧某一位置有一竖直放置的、左上角有一开口的光滑圆弧轨道MNP,其半径为R=0.5m,∠PON=53°,MN为其竖直直径,P点到桌面的竖直距离是h=0.8m.如用质量m1=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点,释放后物块恰停止在桌面边缘D点.现换用同种材料制成的质量为m2=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点,释放后物块能飞离桌面并恰好由P点沿切线滑入光滑圆轨道MNP(g取10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6).
(1)求物体m2运动到M点时受到轨道的压力;
(2)求弹簧的弹性势能EP
(3)如圆弧轨道的位置以及∠PON可任意调节,使从C点释放又从D点滑出的质量为m=km1物块都能由P点沿切线滑入圆弧轨道,并且还能通过最高点M,求k的取值范围.
分析:(1)物体恰好无碰撞落到P点,其竖直分速度可以根据落体规律求解,然后根据速度偏转角求解水平分速度并得到P点速度,然后根据机械能守恒定律求解M点速度;
(2)对释放两个滑块过程分别运用动能定理列式(由C到D过程),联立方程组求解;
(3)先根据C到D过程机械能守恒列式,再根据D到M过程机械能守恒列式,能过最高点列式,最后联立方程组求解即可.
解答:解析:(1)设物块由D点以初速vD做平抛,落到P点时其竖直速度为vy=
2gh
=4m/s

由于
vy
vD
=tan53°
,解得vD=3m/s
若物块到达M点速度为vM,有vP=
v
2
D
+
v
2
y
=5m/s

P到M过程,机械能守恒
1
2
m2
v
2
M
+mg1.6R=
1
2
m2
v
2
P

解得:vM=3m/s
轨道对物块的压力为FN,则FN+m2g=m2
v
2
M
R

解得FN=1.6N
(2)设弹簧长为AC时的弹性势能为EP,物块与桌面间的动摩擦因数为μ,
释放m1时,EP=μm1gSCD
释放m2时,EPm2gSCD=
1
2
m2
v
2
D

联立解得:EP=m2
v
2
D
=1.8J

(3)设质量为km1的物块,到M点的最小速度为v,km1g=km1
v2
R

解得v=
gR

由机械能守恒定律,得到
EP-μkm1gSCD=
1
2
km1
v
2
D

能通过最高点
vD
gR

机械能守恒
EP(1-k)≥
1
2
km1gR

解得
1.8(1-k)≥k
0<k≤
9
14

答:(1)物体m2运动到M点时受到轨道的压力为1.6N;
(2)求弹簧的弹性势能为1.8J;
(3)k的取值范围为0<k≤
9
14
点评:本题关键要分析清楚物体的运动规律,然后多次运用机械能守恒定律列式,最后联立方程组求解即可.
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