题目内容
【题目】一玻璃立方体中心有一点状光源。今在立方体的部分表面镀上不透明薄膜，以致从光源发出的光线只经过一次折射不能透出立方体。已知该玻璃的折射率为
，求镀膜的面积与立方体表面积之比的最小值。
【答案】
【解析】
试题分析：如图，考虑从玻璃立方体中心O点发出的一条光线，假设它斜射到玻璃立方体上表面发生折射。根据折射定律有
（1分）
式中，n是玻璃的折射率，入射角等于θ，α是折射角。
现假设A点是上表面面积最小的不透明薄膜边缘上的一点。由题意，在A点刚好发生全反射，故
（1分）②
设线段OA在立方体上表面的投影长为RA，由几何关系有
③（2分）
式中a为玻璃立方体的边长，有①②③式得
④（1分）
由题给数据得
⑤（1分）
由题意，上表面所镀的面积最小的不透明薄膜应是半径为RA的圆。所求的镀膜面积S′与玻璃立方体的表面积S之比为
⑥（2分）
由⑤⑥式得
⑦（1分）
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