题目内容

如图，坚直平面内的轨道ABC由粗糙的水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧滑道BC组成，AB恰与圆弧BC在B点相切，轨道放在光滑的水平面上，一个质量为1.0kg的小物块（可视为质点）从轨道的A端以8.0J的初动能水平冲上滑道AB，沿着轨道运动，由BC弧滑下后恰能停在水平滑道AB的中点，已知水平滑道AB长为2.0m，轨道ABC的质量为3.0kg，g=10m/s²．
（1）求小物块停在AB中点时的速度大小；
（2）求小物块与水平滑道间的动摩擦因数；
（3）若将小物块初动能增大到某一值时，小物块冲上轨道并返回时，恰能停在A端，求小物块离开C点上升到最高点的距离AB上表面的高度．

解：（1）设小物块冲上轨道的初速度为v，根据E= $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ =4m/s
设物块停在AB的中点时与轨道的共同速度为v′
根据动量守恒定律，有mv=（M+m）v′
故 $\text{[math]}$
（2）系统的动能损失用于克服摩擦力做功，有
$\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$
解得摩擦力f=2N，
所以 $\text{[math]}$
（3）设物块以初动能E′冲上轨道，可以达到的最大高度是H，物块从C点离开轨道向上运动时，其水平方向的速度总是与轨道速度相等，达到最高点时，物块的速度跟轨道的速度相等，有
△E′=fL+mgH
物块冲上轨道运动到A端的过程中，动量守恒，末速度与上述时刻相等，有
△E′=2fL
故fL+mgH=2fL
解得 $\text{[math]}$
答：（1）求小物块停在AB中点时的速度大小为1m/s；
（2）求小物块与水平滑道间的动摩擦因数为0.2；
（3）小物块离开C点上升到最高点的距离AB上表面的高度为0.4m．
分析：（1）整个过程中，系统水平方向不受外力，根据系统动量守恒，列式求解即可；
（2）系统动能的减小量等于产生的热量，根据Q=f?△S求解摩擦力，进一步计算动摩擦因素；
（3）滑块运动到最高点时，系统中滑块和轨道速度相同，根据动量守恒定律和能量守恒定律分别列式；滑块滑到A点时，同样根据动量守恒定律和能量守恒定律分别列式；最后联立各式求解即可．
点评：本题关键是明确滑块和轨道系统动量守恒，同时明确系统机械能的减小量等于产生的热量，而热量Q=f?△S（其中△S为相对路程）．