题目内容
（25分）图1所示为杨氏双缝干涉实验的示意图，取纸面为yz平面。y、z轴的方向如图所示。线光源S通过z轴，双缝S1、S2对称分布在z轴两侧，它们以及屏P都垂直于纸面。双缝间的距离为d，光源S到双缝的距离为l，双缝到屏的距离为D，
，
。
1.从z轴上的线光源S出发经S1、S2不同路径到P0点的光程差为零，相干的结果产生一亮纹，称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响，我们先研究位于轴外的线光源S′形成的另一套干涉条纹，S′位于垂直于z轴的方向上且与S平行，两者相距
，则由线光源S′出发分别经S1、S2产生的零级亮纹
，与P0的距离
2.当光源宽度为
的扩展光源时，可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非相干的线光源组成。这样，各线光源对应的干涉条纹将彼此错开，在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果，干涉条纹图像将趋于模糊，条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相同、波长皆为
。当增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨，则此时光源的宽度
3.在天文观测中，可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一点发出的光到达地球处都可视为平行光，从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角
就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小，为测量如些微小的角直径，迈克尔逊设计了测量干涉仪，其装置简化为图2所示。M1、M2、M3、M4是四个平面反射镜，它们两两平行，对称放置，与入射光（a、 a′）方向成45°角。S1和S2是一对小孔，它们之间的距离是d。M1和M2可以同步对称调节来改变其中心间的距离h。双孔屏到观察屏之间的距离是D。a、 a′和b、 b′分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线a、 a′垂直双孔屏和像屏，星光的波长是
，试导出星体上角直径的计算式。
注：将星体作圆形扩展光源处理时，研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的影响会遇到数学困难，为简化讨论，本题拟将扩展光源作宽度为的矩形光源处理。
解析：
1．求
经双缝产生的干涉图像的零级亮纹
的位置
设点的坐标为
，它也就是光源与S分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离，即
由双缝到点的光程差
，从
作
的垂线交于H点，三角形
与三角形
相似，因
， 则
（附1）
从
作
的垂线交于G，到双缝的光程差
（2）
三角形
与三角形
相似，因
，则
（3）
对满足零光程差条件的而言，
得
（4）
2．在线光源情况下，可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为
（5）
值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源．不难证明，它们经双缝产生干涉条纹的间距
均如（5）式所示．宽度为w的扩展光源是由一系列值不同的、连续分布的、相互独立的线光源构成．因此扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产生干涉条纹的强度相加而成．当扩展光源宽度为w时，对于光源最边缘点有
（6）
代入（4）式
（7）
若
（8）
则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距．由于扩展光源各部分产生的干涉条纹的光强分布都相同，各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光强相等，变得一片模糊而无法分辨．由（5）式和（7）式，求得为使条纹能被分辨，扩展光源允许的最大宽度
（9）
3.如图2所示，
是由扩展光源上端边缘发出的平行光，
是由扩展光源下端边缘发出的平行光．设
光线交于
点，
光线交于
点．光束中的光线
经过
到达观察屏上P点；光线
经过
到达观察屏上P点，两相干光波产生干涉，在观察屏上产生一套干涉条纹．同理，平行光束在观察屏上产生另一套干涉条纹．从扩展光源不同部位发出的、倾角在0和
之间不同角度入射的平行光束，经迈克尔逊测星仪相应的反射镜走过不同路径到双孔，然后在观察屏上产生很多套干涉条纹．这些干涉条纹光强度彼此相加，屏幕上就形成了光强度的分布图像．根据第2问的结果，其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光与分别在屏幕上产生两套干涉条纹的相对位置错开的程度。
由对称性考虑，平行光束中两条光线和在观察屏上
的光程差为0，即平行光产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在处．现讨论以倾角斜入射的平行光束通过整个光学装置后，在观察屏上某点发生干涉时的光程差．光束中的光线
入射M1的光线经M3反射到达，光线从点算起，所经光程为
；光线
入射M2的光线经M4反射到达，光线从点算起，所经光程为
．由对称性可得
（1）
也就是说从M1和M2算起，光线和到达与的光程是相等的，但是光线和在到达M1和M2时，二者的相位却不同．由作斜入射光线
的垂线交
点，与相位相等，因此，斜入射的两条平行光线和到达S1 和S2时的相位差是光程差
引起的
（2）
从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪，经双孔后发出的相干光在观察屏上坐标为y（坐标原点取在上）的P点上引起的光程差
（3）
其零级亮纹所在位置对应的光程差
，故的坐标
（4）
这也就是平行光与产生的干涉条纹的零级亮纹（也是两套条纹）错开的距离
（5）
因在线光源情况下，可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为
（6）
当二者错开一个条纹间隔时，即
，代入（6）式（星光波长采用
），得
（7）
远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔，在屏上观察到干涉条纹的清晰度下降，由小到大调节M1、M2距离h，当屏幕上条纹消失时，记下此时h的值代入（7）式就可确定扩展光源角直径的大小．
注：实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源，通过调节h使屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，通过数学计算，用迈克尔逊测星仪测量得的星体角直径
．
解法二
如图3所示，对M1、M3而言，找出对
的中间像
和对
所成的像
以及光线a在M1、M3的反射点F和G．由物像的对称性可知
，
，故
即从光线a上一点到
和到的光程相等．同理可证，从光线b上一点到和到的光程相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线上一点到
和到的光程相等；从光线上一点到和到的光程相等．
因此，光线a 到处与光线到处引起的光程差
与没有反射镜M1、M2时两光线到、处的光程相等．因a、垂直双孔屏，故
（1）
通过双孔、后，光线a、在的光程差
（2）
平行光束b斜入射时，可从、处求b、两光线到达、处的光程差
．由作
的垂线
（见图4），
（3）
说明光线超前于光线b．
通过双孔、后光线b、射出的相干光线在屏幕上形成的零级亮纹不可能位于处，因为二者到达双孔前光线已超前了光线b，如图5所示，光线经过孔后要多走一段光程来抵消前面的相位差，以达到与光线b在没有光程差的情况下相交于远方屏幕上，形成干涉零级亮纹．该点所对应的经过孔后多走的光程
（4）
从
可求得平行光束经双孔后在观察屏上的干涉零级条纹位置．由（3）式和（4）式，得
（5）
的位置坐标
（6）
由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是、之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，记下此时h的值.这时相干光在屏幕上零级亮纹位置与的距离
（7）
当
等于条纹间隔，即
（8）
代入（7）式得
（9）
由（5）、（9）两式，得
（10）
解法三：
根据第2问的结果，为使条纹能被分辨，扩展光源的允许宽度为
，从而扩展光源对双缝中心的张角为
（1）
如图3所示，对M1、M3而言，找出对的中间像和对所成的像
以及光线a在M1、M3的反射点F和G．由物像的对称性可知，，故
即从光线a上一点到和到的光程相等．同理可证，从光线b上一点到和到的光程相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线上一点到和到的光程相等；从光线上一点到和到的光程相等．从分析可知，为经M3、M1反射的等效像点，为经M4、M2反射的等效像点，从而可将测星干涉看作是经双孔、的等效杨氏双缝干涉，其缝距为
（2）
由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是、之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等，这时只需将测得的h直接替换（1）式中的d，可得计算星体角直径的公式
（3）
得到与前两种解法相同的结果。
计算高手系列答案
如图所示的杨氏双缝干涉图中，小孔S1、S2发出的光在屏某处叠加时，如果光程差为
，
。
，则由线光源S′出发分别经S1、S2产生的零级亮纹
，
与P0的距离
的扩展光源时，可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非相干的线光源组成。这样，各线光源对应的干涉条纹将彼此错开，在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果，干涉条纹图像将趋于模糊，条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相同、波长皆为
。当
增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨，则此时光源的宽度
就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小，为测量如些微小的角直径，迈克尔逊设计了测量干涉仪，其装置简化为图2所示。M1、M2、M3、M4是四个平面反射镜，它们两两平行，对称放置，与入射光（a、 a′）方向成45°角。S1和S2是一对小孔，它们之间的距离是d。M1和M2可以同步对称调节来改变其中心间的距离h。双孔屏到观察屏之间的距离是D。a、 a′和b、 b′分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线a、 a′垂直双孔屏和像屏，星光的波长是
，试导出星体上角直径
的计算式。
的矩形光源处理。
