Question

已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量G，不考虑地球自转的影响．
（1）推导第一宇宙速度v₁的表达式；
（2）若将地球当作均匀球体，推导地球的平均密度．

Answer 1

分析：（1）研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出线速度、轨道半径．
（2）由于不考虑地球自转的影响，得出地球表面附近万有引力等于重力，可以表示出地球的质量，运用密度公式求出地球平均密度．

解答：解：（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，
在地球表面附近满足：

G Mm R2 =mg

①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力：m

v 2 1

R

=G

Mm

R2

②
①、②式，得到：v1=

Rg

（2）由密度公式：ρ=

M

V

=

M

4 3 πR3

③
由①、③得：ρ=

3g

4πRG

答：（1）推导第一宇宙速度v₁的表达式v1=

Rg

；
（2）若将地球当作均匀球体，推导地球的平均密度为ρ=

3g

4πRG

．

点评：运用黄金代换式GM=gR²求出问题是考试中常见的方法．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．