Question

【题目】自然界时刻发生着你死我活的奔跑赛，胆小势弱的羚羊从静止开始奔跑，经过x1=50m的距离能加速到最大速度v1=25m/s，并能维持该速度一段较长的时间；猎豹从开始奔跑，经过x2=60m的距离能加速到最大速度v2=30m/s，以后只能维持这个速度t0=4.0s，接着做加速度大小为a=2.5m/s2的匀减速运动直到停止． 设猎豹距离羚羊x时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后t'=0.5s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑． 则：
（1）猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围？
（2）猎豹要在其减速前追到羚羊，x值应在什么范围？
（3）猎豹要能够追上羚羊，x值应在什么范围？

Answer 1

【答案】
（1）解：羚羊做加速运动的加速度大小为：a1═ m/s2=6.25 m/s2

羚羊做加速运动的时间为：t1═ s=4.0 s

而猎豹做加速运动的加速度为：a2═ m/s2=7.5 m/s2

猎豹做加速运动的时间为：t2═ s=4.0 s

因t2=t1，猎豹要在其加速阶段追上羚羊，猎豹运动的时间t≤4 s

所以，猎豹追上羚羊时，羚羊也正在加速运动，则有：

解得：x≤21.7 m．

答：猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值范围x≤21.7 m；

（2）设猎豹在维持最大速度的时间内追到羚羊，由题意得总时间：t≤8.0 s

由t2=t1可知，当猎豹进入匀速运动过程0.5 s后，羚羊将做匀速运动．所以，当猎豹追到羚羊时，羚羊早已在做匀速运动，只是匀速运动的时间比猎豹少

了0.5 s，则有：x2+v2t0≥x1+x+v1（t0﹣t'）

解得：x≤42.5 m

综合（1）问可知：21.7 m＜x≤42.5 m．

答：猎豹要在其减速前追到羚羊，x值范围21.7 m＜x≤42.5 m；

（3）当猎豹的速度减到与羚羊的速度相等时，如果还追不上羚羊则永远追不上了．

猎豹减速到与羚羊速度相等的时间为：t″═2 s

根据运动学公式，有：x2+v2t0+≥x1+x+v1（t0+t″﹣t'）

解得：x≤47.5 m．

答：猎豹要能够追上羚羊，x值范围x≤47.5 m．

【解析】(1)根据题意求羚羊做加速运动的加速度和羚羊做加速运动的时间，再猎豹做加速运动的加速度猎豹和加速运动的时间，猎豹要在其加速阶段追上羚羊，猎豹和羚羊运动的时间相同，猎豹追上羚羊时，羚羊也正在加速运动，根据匀加速直线运动时间和位移的关系可以求解。
(2)猎豹在维持最大速度的时间内追到羚羊，导出时间关系，追击过程猎豹和羚羊运动的时间相同，结合猎豹和羚羊的运动过程当猎豹追到羚羊时，羚羊早已在做匀速运动，只是匀速运动的时间比猎豹少了0.5 s，再根据追击过程位移关系，可以求解。
(3)当猎豹的速度减到与羚羊的速度相等时，猎豹和羚羊距离最近，此时如果还追不上羚羊则永远追不上了．再根据时间和位移关系，可以求出猎豹要能够追上羚羊，x值应在什么范围。
【考点精析】通过灵活运用匀变速直线运动的速度、位移、时间的关系和匀变速运动中的平均速度，掌握速度公式：V=V0+at；位移公式：s=v0t+1/2at2；速度位移公式：vt2-v02=2as；以上各式均为矢量式，应用时应规定正方向，然后把矢量化为代数量求解，通常选初速度方向为正方向，凡是跟正方向一致的取“+”值，跟正方向相反的取“-”值；平均速度：V=V0+Vt即可以解答此题．