Question

（2004?南京三模）如图甲所示，A、B是一对平行放置的金属板，中心各有一个小孔P、Q，PQ连线垂直金属板，两板间距为d．现从P点处连续不断地有质量为 m、带电量为+q的带电粒子（重力不计），沿PQ方向放出，粒子的初速度可忽略不计．在t=0时刻开始在A、B间加上如图乙所示交变电压（A板电势高于B板电势时，电压为正），其电压大小为U、周期为T．带电粒子在A、B间运动过程中，粒子间相互作用力可忽略不计．

（1）如果只有在每个周期的0～

T

4

时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，则上述物理量之间应满足怎样的关系．
（2）如果各物理量满足（1）中的关系，求每个周期内从小孔Q中有粒子射出的时间与周期T的比值．

Answer 1

分析：（1）通过分析每个周期内带电粒子的运动情况，确定只有在每个周期的0～

T

4

时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出时应满足的条件，根据牛顿第二定律和运动学公式求解各物理量之间应满足的关系．
（2）t=0时刻进入电场的粒子在电场中运动的时间为最短，由运动学公式求出最短时间．

解答：解：（1）在0→

T

4

时间内，进入A、B板间的粒子，在电场力的作用下，先向右做匀加速运动，在

T

2

→T时间内再向右做匀减速运动，且在0→

T

4

时间内，越迟进入A、B板间的粒子，其加速过程越短，减速运动过程也相应地缩短，当速度为零后，粒子会反向向左加速运动．由题意可知0→

T

4

时间内放出的粒子进入A、B板间，均能从Q孔射出，也就是说在

T

4

时刻进入A、B板间的粒子是能射出Q孔的临界状态．
粒子在

T

4

时刻进入A、B间电场时，先加速，后减速，由于粒子刚好离开电场，说明它离开电场的速度为零，由于加速和减速的对称性，故粒子的总位移为加速时位移的2倍，所以有
   d=2×

1

2

a(

T

4

)2=

qUT2

16md

即   d2=

qUT2

16m

①
（2）若情形（1）中的关系式①成立，则t=0时刻进入电场的粒子在电场中运动的时间为最短（因只有加速过程），设最短时间为t_x，则有
   d=

1

2

a

t

2 x

②
在t=

T

4

时刻进入电场的粒子在t=

3T

4

的时刻射出电场，所以有粒子飞出电场的时间为 △t=

3T

4

-tx ③
由②③式得  

△t

T

=

3- 2

4

④
答：
（1）各物理量之间应满足的关系是即d2=

qUT2

16m

．
（2）每个周期内从小孔Q中有粒子射出的时间与周期T的比值是

3- 2

4

．

点评：本题关键是分析带电粒子的运动情况，确定出临界条件，运用牛顿第二定律和运动学规律结合进行求解．