Question

如图（a）所示，在xOy竖直平面直角坐标系中，有如图（b）所示的随时间变化的电场，电场范围足够大，方向与y轴平行，取竖直向上为正方向；同时也存在如图（c）所示的随时间变化的磁场，磁场分布在x₁≥x≥0、y₁≥y≥-y₁的虚线框内，方向垂直坐标平面，并取向内为正方向．在t=0时刻恰有一质量为m=4×10^-5kg、电荷量q：1×10^-4C的带正电小球以v₀=4m/s的初速度从坐标原点沿x轴正向射入场区，并在0.15s时间内做匀速直线运动，g取10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80．求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）0.3s末小球速度的大小及方向：
（3）为确保小球做完整的匀速圆周运动，x₁和y₁的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）小球做匀速直线运动，说明受到的重力．电场力与洛伦兹力的和为0，根据平衡状态的方程，即可求得磁感应强度B；
（2）在t₁～t₂时间内，可知，小球在电场力和重力作用下，做类平抛运动，将运动分解到水平方向和竖直方向，结合牛顿第二定律与平行四边形定则，即可求得速度的大小和方向；
（3）0.3s以后，粒子所受电场力与重力平衡，粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求得小球运动的半径，然后求出此时小球对应的位置，结合几何关系，确定小球轨迹的圆心的位置，最后再根据几何关系求得两个量的最小值．

解答：解：小球运动轨迹参见图解．
（1）设t₁=0.15s，在t₁时间内，小球处于平衡状态，
故有：qE+mg=qB₀v₀…①
代入数据解得B₀=2T  …②
（2）设t₂=0.3s，在t₁～t₂时间内，由图（b）、
图（c）可知，小球在电场力和重力作用下，
做类平抛运动，t₂时刻小球在x方向的速度为：v_x=v₀=4m/s
在y方向，根据牛顿第二定律有：
由qE+mg=ma
代入数据解得a=20m/s²…③
根据运动学公式v_y=a（t₂-t₁）=3m/s…④
根据平行四边形定则，此时粒子的速度为：v=5m/s…⑤
设速度方向与x轴成θ，则有：tanθ=

3

4

得θ=37°
（3）由图（b）、图（c）可知，0.3s以后，粒子所受电场力与重力平衡，粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律qB0v=m

v2

R

代入数据解得：R=

mv

qB0

=

4×10-5×5

1×0-4×2

m=1m
0～t₁时间内粒子的位移：x₁=v₀t₁=4×0.15m=0.6…⑥
在t₁～t₂时间内粒子在水平方向的位移：x₂=v₀t₂=4×0.15m=0.6m…⑦
在t₁～t₂时间内粒子在竖直方向的位移：y2=

1

2

a(t2-t1)2=

1

2

×20×0.152m=0.225m
由几何知识可得粒子做匀速圆周运动的圆心坐标为：x₀=x₁+x₂+Rsin37°=0.6m+0.6m+1×0.6m=1.8m…⑧
y0=Rsin53°-

1

2

a(t2-t1)2=0.575m…⑨
所以x₁=x₀+R=2.80m…⑩
y₁=R+y₀=1.575m
答：（1）磁感应强度B的大小为2T；
（2）0.3s末小球速度的大小为5m/s，方向与水平方向的夹角为37°向下；
（3）为确保小球做完整的匀速圆周运动，x₁为2.80m，y₁的最小值是1.575m．

点评：本题是力学与电学综合题，根据匀速圆周运动的规律与几何关系相结合，同时运用力学与电学的知识来解题，从而培养学生分析问题的方法，提升解题的能力．