Question

理论证明，取离星球中心无穷远处为引力势能的零势点时，以物体在距离星球中心为r处的引力势能可表示为：E_p=-G

Mm

r

．G为万有引力常数，M、m表示星球与物体的质量，而万有引力做的功则为引力势能的减少．已知月球质量为M、半径为R，探月飞船的总质量为m．月球表面的重力加速度为g，万有引力常数G．
（1）求飞船在距月球表面H（H＞

R

3

）高的环月轨道运行时的速度v；
（2）设将飞船从月球表面发送到上述环月轨道的能量至少为E．有同学提出了一种计算此能量E的方法：根据E=

1

2

mv2+mgH，将（1）中的v代入即可．请判断此方法是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法与结果（不计飞船质量的变化及其他天体的引力和月球的自转）．

Answer 1

（1）探月飞船作圆周运动所需的向心力由月球对探月飞船的万有引力提供
所以：G

Mm

(R+H)2

=m

v2

R+H

解得v=

GM R+H

（2）因探月飞船从月球表面发送到H高处的过程中月球的引力为变力，故克服引力所做的功不等于mgH，所以该同学的方法不正确；
由引力势能定义可知探月飞船从月球表面发送到H处引力势能的改变量△EP=(-G

Mm

R+H

)-(-G

Mm

R

)=GMm

H

R(R+H)

由能量守恒定律可知，将探月飞船从月球表面发送到H处所需的能量为：E=

1

2

mv2+△Ep=

1

2

m

GM

R+H

+

GMmH

R(R+H)

=

GMm(R+2H)

2R(R+H)

答：（1）飞船在距月球表面H（H＞

R

3

）高的环月轨道运行时的速度v为

GM R+H

；
（2）将飞船从月球表面发送到上述环月轨道的能量至少为

GMm(R+2H)

2R(R+H)

．