题目内容

【题目】如图所示,半径为R的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO重合,转台以一定角速度ω匀速旋转,一质量为m的小物块落入陶罐内,经过一段时间后,小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止,它和O点的连线与OO之间的夹角θ45°.已知重力加速度大小为g,小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为.

(1)若小物块受到的摩擦力恰好为零,求此时的角速度ω0

(2)若小物块一直相对陶罐静止,求陶罐旋转的角速度的最大值和最小值.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)当摩擦力为零时,支持力和重力的合力提供向心力,有:

解得

(2)当时,重力和支持力的合力不够提供向心力,当角速度最大时,摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值,设此最大角速度为,受力如图:

由牛顿第二定律得,

联立以上三式解得:

ω<ω0时,重力和支持力的合力大于所需向心力,摩擦力方向沿罐壁切线向上,当角速度最小时,摩擦力向上达到最大值,设此最小角速度为

由牛顿第二定律得

联立三式解得

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