Question

6．竖直放置的光滑圆环上套有一质量为m的小球，小球在最高点时的速度v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，其中R为圆环的半径．下列说法中正确的是（　　）

• A． 小球经过最低点时的速度大于$\frac{3}{2}$$\sqrt{2gR}$
• B． 小球经过任意一条直径两端时的动能之和都相等
• C． 小球绕圆环运动一周的时间大于$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
• D． 小球在最低点时对圆环的压力等于4.5mg

Answer 1

分析 小球从最高点运动到最低点的过程中机械能守恒，设小球到达最低点时的速度大小为v，根据机械能守恒定律列式即可求解；
根据机械能守恒定律判断小球经过任一直径两端位置时的动能之和是否是一定值．根据路程与时间的比值计算小球绕圆环一周的时间．小球在最低点时，受到的合外力提供小球做圆周运动的向心力，设轨道对小球的支持力为N，根据牛顿第二定律和圆周运动公式即可求解．

解答 解：A、小球从最高点运动到最低点的过程中机械能守恒，设小球到达最低点时的速度大小为v，根据机械能守恒定律
 mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv²，又v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，解得：v=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2gR}$，故A错误；
B、小球在运动的过程中机械能守恒，小球在最高点的机械能等于最低点的机械能，设最低点为零势能平面有：E_k1+mg•2R=E_k2=定量C，
则E_K1+E_K2+mg•2R=2C，在运动的过程中小球经过某一位置重力势能减小多少，则经过关于圆心对称的位置重力势能就增加多少．所以小球经过任一直径两端位置时的动能之和是一个恒定值．故B正确．
C、小球做的运动不是匀速圆周运动，在整个运动的过程中，最高点的速度最小，所以运动的时间：t＜$\frac{2πR}{{v}_{0}}$．故C错误．
D、小球在最低点时，受到的合外力提供小球做圆周运动的向心力，设轨道对小球的支持力为N，根据牛顿第二定律和圆周运动公式
 N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；代入数据解得：N=5.5mg                              
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力：N′=N=5.5mg． 故D错误．
故选：B．

点评 本题综合运用了机械能守恒定律和牛顿第二定律，关键理清向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．