Question

如图所示，一块足够长的木板放在光滑的水平面上，在木板上自左向右放有序号为l、2、3、…、n的木块，所有木块的质量都为m，与木板间的动摩擦因数都为μ．木板的质量与所有木块的总质量相等．开始时，木板静止不动，第l、2、3、…、n号木块的速度分别为v₀、2v₀、3v₀…、nv₀方向都向右，最终所有木块与木板以共同速度匀速运动．求：

（1）所有木块与木板一起匀速运动的速度大小v_n．
（2）第l号木块与木板刚好相对静止时的速度大小v₁
（3）通过分析与计算得出第k号（k＜n）木块的最小速度v_k．

Answer 1

分析：（1）A、B、C三个物体组成的系统，所受合外力为零，系统的动量守恒，根据动量守恒定律求出最终A、B、C的共同速度．
（2）根据动量守恒定律和动量定理研究，求出A与C刚相对静止时B的速度．
（3））第1号物块到达速度v1=

1

2

v0之后，又会随木板做加速运动．所以

1

2

v0就是第1号物块的最小速度．同理可得，第k号（k＜n）物块的最小速度就是它与木板相对静止的瞬间的速度．

解答：解：（1）根据动量守恒定律得：mv₀+2mv₀+3mv₀+…+nmv₀=2nmv_n
解得：vn=

1

4

(n+1)v0
（2）设经过t时间，第1号物块与木板刚好相对静止，共同速度为v₁，根据动量定理得
对第一个木块：-μmgt=m（v₁-v₀）
对木板：n?μmgt=nmv₁
联立以上二式，解得：v1=

1

2

v0；μmgt=

1

2

mv0
（3）第1号物块到达速度v1=

1

2

v0之后，又会随木板做加速运动．所以

1

2

v0就是第1号物块的最小速度．同理可得，第k号（k＜n）物块的最小速度就是它与木板相对静止的瞬间的速度．
设经过t₂时间，第2号物块与木板刚好相对静止，共同速度为v₂，根据动量定理得
对第2个木块：-μmgt₂=mv₂-（2mv₀-μmgt）
对木板和第1个木块：（n-1）μmgt₂=（n+1）m（v₂-v₁）
联立以上二式 v2=

2n-1

2n

v0；μmgt2=

2n+1

2n

mv0
设经过t₃时间，第3号物块与木板刚好相对静止，共同速度为v₃，根据动量定理得
对第3个木块：-μmgt₃=mv₃-（3mv₀-μmgt-μmgt₂）
对木板和2个木块：（n-2）μmgt₃=（n+2）m（v₃-v₂）
?
?
?
设经过t_k时间，第k号物块与木板刚好相对静止，共同速度为v_k，根据动量定理得
对第k个木块：-μmgt_k=mv_k-（kmv₀-μmgt-μmgt₂…μmgt_k）
对木板和（k-1）个木块：[n-（k-1）]μmgt_k=[n+（k-1）]m（v_k-v_k-1）
联立以上各式，解得：vk=

(2n+1-k)kv0

4n

答：（1）所有物块与木板一起匀速运动的速度vn=

1

4

(n+1)v0；
（2）第1号物块与木板刚好相对静止时的速度v1=

1

2

v0；
（3）通过分析和计算说明第k号（k＜n）物块的最小速度vk=

(2n+1-k)kv0

4n

．

点评：本题的运动过程比较复杂，研究对象比较多，按程序法进行分析，考查解决综合题的能力．