Question

（附加题）如图所示，轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等．在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg．先托住物块，使绳处于水平拉直状态，由静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变．
（1）当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？
（2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？
（3）求物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H？

Answer 1

分析：由静止释放后，由于绳OC和绳OB对物块的合力小于重力，所以物块向下先作加速运动，随着物块的下落，两绳间的夹角逐渐减小．因为绳子对物块的拉力大小不变，恒等于F，所以随着两绳间的夹角减小，两绳对物块拉力的合力将逐渐增大，物块所受的合力逐渐减小，向下加速度逐渐减小．当物两绳的合力等于物块的重力时，即块的合外力为零时，速度达到最大值v_m．故加速度为零时重力等于两绳的合力．之后，因为两绳间夹角继续减小，两绳合力大于物块的重力，物块所受合外力竖直向上，且逐渐增大，物块将作加速度逐渐增大的减速运动．当物块下降速度减为零时，物块竖直下落的距离达到最大值H．当物块的加速度为零时，由共点力平衡条件可求出相应的θ角，再由θ角求出相应的距离h，进而求出克服C端恒力F所做的功．对物块运用动能定理可求出物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H．
（1）故加速度为零时应有重力等于两绳的合力．
（2）由加速度为零时下落的高度h，可以由几何关系解出C点向上运动的距离，从而可以求出F做的功W_F，故克服力F做的功为-W_F
（3）由于下落h时速度为v_m，故由动能定理即可求出v_m；物块速度为零时下落距离为H，由动能定理求解H．

解答：解：（1）当物块所受的合外力为零时，加速度为零，此时物块下降距离为h．因为F恒定，所以两绳对物块拉力大小分别为F，两绳与竖直方向夹角均为θ，由平衡条件知：
2Fcosθ=mg2θ=120°，所以θ=60°，
由图知：h=Ltan30°=

3

3

L  ①
（2）物块下落h时，绳的C、D端均上升h′由几何关系可得：h′=

l2+h2

-L  ②
克服C端恒力F做的功为：W=Fh′③
由①②③式联立解得：W=（

2 3

3

-1）mgL
（3）在物块下落过程中，共有三个力对物块做功．重力做正功，两端绳子对物块的拉力做负功．两端绳子拉力做的功就等于作用在C、D端的恒力F所做的功．因为物块下降距离h时动能最大．由动能定理得：mgh-2W=

1

2

m

v

2 m

  ④
将①②③式代入④式解得：v_m=

2(2- 3 )gl

当物块速度减小为零时，物块下落距离达到最大值H，绳C、D上升的距离为H’．由动能定理得：
mgH-2mgH′=0，又H′=

H2+l2

-L，
联立解得：H=

4

3

l．
答：（1）当物块下落距离h为

3

3

时，物块的加速度为零．
（2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为（

2 3

3

-1）mgL．
（3）物块下落过程中的最大速度v_m为

2(2- 3 )gl

，最大距离H为

4

3

l．

点评：本题是连接体问题，根据牛顿第二定律研究加速度为零时的条件，由系统机械能守恒研究物块下降的最大距离，同时要合理运用几何关系辅助求解．