Question

16．如图所示，半径R=0.9m的光滑的半圆轨道固定在竖直平面内，直径AC竖直，下端A与光滑的水平轨道相切．一个质量m=1kg的小球沿水平轨道进入竖直圆轨道，通过最高点C时对轨道的压力为其重力的3倍．不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球在A点的速度大小v_A；
（2）小球的落地点到A点的距离s；
（3）小球的落地前瞬间重力的瞬时功率P_G．

Answer 1

分析 （1）由向心力公式可求得最高点的速度，对AC过程由机械能守恒定律可求得A点的速度；
（2）小球离开C点后做平抛运动，由平抛运动的规律可求得水平距离s；
（3）求出落地时的竖直分速度，再由功率公式即可求得重力的功率．

解答 解：（1）设小球通过最高点C时的速度为v_c，根据牛顿第二定律，有
  $mg+3mg=m\frac{v_c^2}{R}$
解得：v_c=6m/s  
设小球在A点的速度大小为v_A，以地面为参考平面，根据机械能守恒定律，有：
  $\frac{1}{2}mv_A^2=\frac{1}{2}mv_C^2+mg•2R$
解得：${v_A}=\sqrt{v_c^2+4gR}=6\sqrt{2}m/s=8.5m/s$
（2）小球离开C点后作平抛运动，根据  $2R=\frac{1}{2}g{t^2}$
它在空中运动的时间为  t=0.6s 
小球的落地点到A点的距离为  s=v_c•t=3.6m
（3）小球落地前竖直速度v_y=gt=6m/s
小球的落地前瞬间重力的瞬时功率P_G=mgv_y=6W
答：
（1）小球在A点的速度大小v_A是8.5m/s．
（2）小球的落地点到A点的距离s是3.6m；
（3）小球的落地前瞬间重力的瞬时功率P_G是6W．

点评 本题主要考查了向心力公式、机械能守恒定律及平抛运动基本公式的直接应用，对于圆周运动的动力学，关键分析什么力提供向心力，对于圆周光滑情形，要考虑运用机械能守恒定律解题．