Question

9．如图（a）所示，两根足够长的平行光滑导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面的夹角为α，导轨电阻不计，整个导轨放在垂直导轨平面向上的匀强磁场中．长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m．两金属导轨的上端与右端的电路连接，R是阻值可调的电阻箱，其最大值远大于金属棒的电阻值．将金属棒由静止释放，当R取不同的值时，金属棒沿导轨下滑会达到不同的最大速度v_m，其对应的关系图象如图（b）所示，图中v₀、R₀为已知，重力加速度取g．请完成下列问题：
（1）匀强磁场的磁感应强度为多少？
（2）金属棒的电阻值为多少？
（3）当R=R₀时，由静止释放金属棒，在金属棒加速运动的整个过程中，通过R的电量为q，求在这个过程中R上产生的热量为多少？
（4）R取不同值时，R的电功率的最大值不同．有同学认为，当R=R₀时R的功率会达到最大．如果你认为这种说法是正确的，请予以证明，并求出R的最大功率；如果你认为这种说法是错误的，请通过定量计算说明理由．

Answer 1

分析 （1）金属棒下滑达到最大速度时做匀速运动，由平衡条件和安培力求得B．
（2）图象横轴截距大小等于R₀．
（3）由q=$\frac{△Φ}{R+r}$求出金属棒下滑的距离S，根据能量守恒定律求出热量．
（4）推导功率的表达式判断正误

解答 解：（1）安培力：F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{ab}+R}$，
金属棒匀速运动时速度最大，金属棒匀速运动，处于平衡状态，
由平衡条件得：mgsinα=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{ab}+R}$，解得：v_m=$\frac{mgsinα（{R}_{ab}+R）}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
由图线斜率：k=$\frac{{v}_{0}}{{R}_{0}}$=$\frac{mgsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}$，解得：B=$\sqrt{\frac{mg{R}_{0}sinα}{{L}^{2}{v}_{0}}}$；
（2）由图线在横轴上的截距可得：R_ab=R₀；
（3）当R=R₀时，v_m=2v₀，
电荷量：q=I△t=$\frac{△Φ}{△t（R+{R}_{0}）}$•△t=$\frac{△Φ}{2{R}_{0}}$=$\frac{BLs}{2{R}_{0}}$，解得：s=$\frac{2q{R}_{0}}{BL}$，
由能量守恒定律可知，热量：
Q=$\frac{1}{2}$（mgsinαs-$\frac{1}{2}$mv_m²）=$\frac{1}{2}$mgsinα$\frac{2q{R}_{0}}{BL}$-mv₀²=q$\sqrt{mgsinα{R}_{0}{v}_{0}}$-mv₀²；
（4）这种说法错误．
R的最大值电功率：P=I²R=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}α}{{B}^{2}{L}^{2}}$R，
$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}α}{{B}^{2}{L}^{2}}$是恒量，则：P∝R，
P随R增大而增大，无最大值．
答：（1）匀强磁场的磁感应强度为$\sqrt{\frac{mg{R}_{0}sinα}{{L}^{2}{v}_{0}}}$；
（2）金属棒的电阻值为R₀；
（3）在这个过程中R上产生的热量为：q$\sqrt{mgsinα{R}_{0}{v}_{0}}$-mv₀²；
（4）说法错误，无最大功功率．

点评 本题是电磁感应与力学的综合题，常常用到两个经验公式：安培力F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$和感应电量q=n$\frac{△Φ}{R+r}$．