Question

（2013?天河区一模）如图a，间距为d的平行金属板MN与一对光滑的平行导轨相连，平行导轨间距L=

d

2

，一根导体棒ab以一定的初速度向右匀速运动，棒的右端存在一个垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场．棒进入磁场的同时，粒子源P释放一个初速度为零的带电粒子，已知带电粒子质量为m，电荷量为q，粒子能从N板加速到M板，并从M板上的一个小孔穿出．在板的上方，有一个环形区域内存在磁感应强度大小也为B，垂直纸面向外的匀强磁场．已知外圆半径为2d，内圆半径为d，两圆的圆心与小孔重合（粒子重力不计）．

（1）判断带电粒子的正负，并求当ab棒的速度为v₀时，粒子到达M板的速度v；
（2）若要求粒子不能从外圆边界飞出，则ab棒运动速度v₀的取值范围是多少？
（3）若棒ab的速度

v

′ 0

=

qBd

m

，为使粒子不从外圆飞出，可通过控制导轨区域磁场的宽度S（如图b），则该磁场宽度S应控制在多少范围内？

Answer 1

分析：（1）由右手定则判断ab棒产生的感应电动势方向，分析M、N两板的电性，即可判断带电粒子的电性；由公式E=BLv求出棒ab产生的感应电动势，MN板间电压就等于此感应电动势，根据动能定理求粒子到达M板的速度v；
（2）要使粒子不从外边界飞出，则粒子最大半径时的轨迹与外圆相切，由几何关系求出轨迹半径的最大半径，由洛伦兹力充当向心力，列式求出速度的最大值，即可得到速度的范围；
（3）若棒ab的速度

v

′ 0

=

qBd

m

，粒子在磁场中轨迹半径等于d，如果让粒子在MN间一直加速，则必然会从外圆飞出，所以只能让粒子在MN间只加速至最大速度（上题的结果）．研究粒子在电场加速过程，由牛顿第二定律和运动学公式求出加速的时间，即可求出导轨区域磁场的宽度S．

解答：解：（1）根据右手定则知，a端为正极，故带电粒子必须带负电
ab棒切割磁感线，产生的电动势U=B

d

2

v0
对于粒子，由动能定理qU=

1

2

mv2-0 
得粒子射出电容器的速度为 v=

qBdv0 m

（2）要使粒子不从外边界飞出，则粒子最大半径时的轨迹与外圆相切，
由几何关系有：（2d-r）²=r²+d²
得 r=

3

4

d
由洛仑兹力等于向心力，有：qv₀B=m

v 2 0

r

联立得 v₀=

3qBd

4m

    
故ab棒的速度范围：v₀≤

3qBd

4m

（3）因为

v

′ 0

=

qBd

m

＞v_m，故如果让粒子在MN间一直加速，则必然会从外圆飞出，
所以只能让粒子在MN间只加速至速度为 v=

qBdv0 m

=

3qBd

4m

，再匀速射出电容器则可．
而带电粒子在电场中加速过程，有
   a=

qU

md

=

q(Bv0′ d 2 )

md

将

v

′ 0

=

qBd

m

代入得：a=

q2B2d

2m2

  由v=

3qBd

4m

=at=

q2B2d

2m2

t    
得：t=

3m

2qB

对于棒ab：s=v₀′t=

3

2

d   
 故磁场的宽度应：s≤

3

2

d
答：
（1）带电粒子带负电，当ab棒的速度为v₀时，粒子到达M板的速度v是

qBdv0 m

；
（2）若要求粒子不能从外圆边界飞出，则ab棒运动速度v₀的取值范围是：v₀≤

3qBd

4m

．
（3）若棒ab的速度

v

′ 0

=

qBd

m

，为使粒子不从外圆飞出，可通过控制导轨区域磁场的宽度S（如图b），则该磁场宽度S应控制在

3

2

d之内．

点评：本题是电场加速、磁场偏转和电磁感应的组合，根据动能定理求加速获得的速度，磁场中画轨迹等等都常规方法，关键要抓住各个过程之间的内在联系．