题目内容

图(a)所示的装置中,小物块AB质量均为m,水平面上PQ段长为l,与物块间的动摩擦因数为μ,其余段光滑.初始时,挡板上的轻质弹簧处于原长;长为r的连杆位于图中虚线位置;A紧靠滑杆(AB间距大于2r).随后,连杆以角速度ω匀速转动,带动滑杆做水平运动,滑杆的速度-时间图象如图(b)所示.A在滑杆推动下运动,并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞.

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(1)求A脱离滑杆时的速度v0,及A与B碰撞过程的机械能损失△E.
(2)如果AB不能与弹簧相碰,设AB从P点到运动停止所用的时间为t1,求ω的取值范围,及t1与ω的关系式.
(3)如果AB能与弹簧相碰,但不能返回到P点左侧,设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep,求ω的取值范围,及Ep与ω的关系式(弹簧始终在弹性限度内).
(1)滑杆达到最大速度时A与其脱离.由题意,得:
v0=ωr…①
设AB碰撞后的共同速度为v1,由动量守恒定律
mv0=2mv1…②
碰撞过程中的机械能损失为
△E=
1
2
mv02-
1
2
(2m)v12…③
△E=
1
4
2r2…④
(2)若AB不与弹簧相碰,P到Q过程,由动能定理,得
μ(2m)gl=
1
2
(2m)v12…⑤
联立①②⑤,得对应AB运动到Q点的连杆角速度ω1
ω1=
2
2μgl
r
…⑥
ω的取值范围:0<ω≤
2
2μgl
r
…⑦
设AB在PQ段加速度大小为a,由运动学规律,得:
v1=at1…⑧
μ(2m)g=2ma…⑨
联立①②⑧⑨,得:
t1=
ωr
2μg
,(0<ω≤
2
2μgl
r

(3)若AB压缩弹簧后反弹,由动能定理,得:
μ(2m)g(l+l)=
1
2
(2m)v12
联立①②,得对应AB刚好反弹回P点的连杆角速度ω2
ω2=
4
μgl
r

ω的取值范围:
2
2μgl
r
<ω≤
4
μgl
r

由功能关系:Ep=
1
2
(2m)v12-μ(2m)gl
得:Ep=
1
4
2r2-2μmgl,(
2
2μgl
r
<ω≤
4
μgl
r

答:(1)A脱离滑杆时的速度为ωr,A与B碰撞过程的机械能损失△E为=
1
4
2r2
(2)如果AB不能与弹簧相碰,设AB从P点到运动停止所用的时间为t1,ω的取值范围为0<ω≤
2
2μgl
r
,t1与ω的关系式为t1=
ωr
2μg
,(0<ω≤
2
2μgl
r
).
(3)如果AB能与弹簧相碰,但不能返回到P点左侧,设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep,ω的取值范围为
2
2μgl
r
<ω≤
4
μgl
r
,Ep与ω的关系式为Ep=
1
4
2r2-2μmgl,(
2
2μgl
r
<ω≤
4
μgl
r
)(弹簧始终在弹性限度内).
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