Question

如图所示，两条光滑的绝缘导轨，导轨的水平部分与圆弧部分平滑连接，两导轨间距为L，导轨的水平部分有n段相同的匀强磁场区域（图中的虚线范围），磁场方向竖直向上，磁场的磁感应强度为B，磁场的宽度为S，相邻磁场区域的间距也为S，S大于L，磁场左、右两边界均与导轨垂直．现有一质量为m，电阻为r，边长为L的正方形金属框，由圆弧导轨上某高度处静止释放，金属框滑上水平导轨，在水平导轨上滑行一段时间进入磁场区域，最终线框恰好完全通过n段磁场区域．地球表面处的重力加速度为g，感应电流的磁场可以忽略不计，求：
（1）刚开始下滑时，金属框重心离水平导轨所在平面的高度．
（2）整个过程中金属框内产生的电热．
（3）金属框完全进入第k（k＜n）段磁场区域前的时刻，金属框中的电功率．

Answer 1

分析：（1）金属框从光滑导轨下滑的过程中，机械能守恒，要求高度，关键要求出金属框在进入第一段匀强磁场区域前的速度v₀，可根据法拉第定律、欧姆定律和动量定理，对线框进入第一段、第二段、第三段…磁场区域列式，再累计求和，即可求出v₀，再根据机械能守恒求解高度．
（2）金属框穿过第（k-1）个磁场区域后和完全进入第k个磁场区域的过程中，由动量定理求得速度，即可求出电功率．

解答：解：（1）设金属框在进入第一段匀强磁场区域前的速度为v₀，金属框在进入和穿出第一段匀强磁场区域的过程中，线框中产生平均感应电动势为
  

.

E

=

2BL2

t

平均电流强度为（不考虑电流方向变化）

.

I

=

. E

r

=

2BL2

rt

由动量定理得：
   -B

.

I

Lt=mv1-mv0
   -B

2BL2

rt

Lt=mv1-mv0
   -

2B2L3

r

=mv1-mv0
同理可得：-

2B2L3

r

=mv2-mv1
       -

2B2L3

r

=mv3-mv2
…
整个过程累计得：-n

2B2L3

r

=0-mv0
解得：v0=

2nB2L3

mr

金属框沿斜面下滑机械能守恒：mgh=

1

2

m

v

2 0

解得  h=

v 2 0

2g

=

2n2B4L6

m2gr2

（2）金属框中产生的热量Q=mgh，
解得  Q=

2n2B4L6

mr2

（3）金属框穿过第（k-1）个磁场区域后，由动量定理得：-(k-1)

2B2L3

r

=mvk-1-mv0
金属框完全进入第k个磁场区域的过程中，由动量定理得：-

B2L3

r

=mv_k′-mv_k-1
解得：v_k′=

(2n-2k+1)B2L3

mr

金属框中的电功率：P=

(BL v / k )2

r

=

(2n-2k+1)2B6L8

m2r3

答：
（1）刚开始下滑时，金属框重心离水平导轨所在平面的高度是

2n2B4L6

mr2

．
（2）整个过程中金属框内产生的电热是

2n2B4L6

mr2

．
（3）金属框完全进入第k（k＜n）段磁场区域前的时刻，金属框中的电功率是

(2n-2k+1)2B6L8

m2r3

．

点评：本题综合考查了机械能守恒定律、能量守恒定律、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律等，综合性较强，对学生能力要求较高，需加强这方面的训练．