Question

7．据美国《每日邮报》2014年4月18日报道，美国国家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler-186f．已知该行星自转周期为T，表面重力加速度为g，半径为R，万有引力常量为G．求：
（1）该行星的质量M；
（2）该行星的第一宇宙速度v；
（3）该行星的同步卫星离行星表面的高度h．

Answer 1

分析 根据已知量，地球表面的物体受到的重力等于万有引力列出等式，
地球的同步卫星的万有引力提供向心力，可以求出地球同步卫星的高度．

解答 解：（1）根据引力等于重力，则有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得行星的质量为：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）设质量为m的卫星绕火星表面飞行速度为v，万有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
又由于M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$…②
得：v=$\sqrt{gR}$
（3）其同步卫星的周期等于其自转周期T，则对其同步卫星有：
$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）…③
联立②③解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
答：（1）该行星的质量$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）该行星的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$；
（3）该行星的同步卫星离行星表面的高度$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球的同步卫星的万有引力提供向心力．