题目内容
【题目】如图所示，固定在竖直平面内的光滑细管道由上、下两部分组成。上部分ABC为抛物线形，下部分CDA为半圆形，两部分之间平滑连接。已知抛物线顶点B位于圆心O的正上方，B，O间距为R，水平直径AC长为2R。现通过一弹射装置（图中未画出）从A点弹射出一质量为m的小球，小球直径略小于管道内径，重力加速度为g。
（1）要使小球能完整的运动一周，小球在A点弹射出的最小速度为多大？
（2）在（1）问求得的最小弹射速度条件下，求小球在运动过程中对管道的最大压力；
（3）有无这样的弹射速度，使小球从A点弹射出后对抛物线管道无作用力？若无，请说明理由；若有，试求出该速度的大小和方向。
【答案】（1）
；（2）5mg；（3）
，
【解析】
（1）要使小球能够运动完整的一周，则小球在B点速度要大于0，再根据机械能守恒定律，在A点时的动能等于A到B增加的重力势能和B点的动能，列出等式即可求出答案。
（2）根据机械能守恒定律，A点的动能等于D点的动能和A到D重力势能减小量列出与
相关等式。分析小球在D点的受力情况，得到合外力组成。再根据向心力公式
计算得到小球对管壁压力大小。
（3）如果小球被弹射出后运动至B点，其轨迹恰好和抛物线管道重合，则小球对抛物线管道无作用力，而此时小球由A→B的逆过程可视为平抛运动。列出在
方向位移相关公式再联立解得答案。
（1）要使小球能完整的运动一周，小球在B点的速度
，根据机械能守恒定律有
解得
即小球在A点弹射出的速度至少为。
（2）小球在管道最低点时对管道的压力最大，根据机械能守恒定律有
根据向心力公式，小球在管道最低点时有
联立解得
（3）如果小球被弹射出后运动至B点，其轨迹恰好和抛物线管道重合，则小球对抛物线管道无作用力，而此时小球由A→B的逆过程可视为平抛运动。设小球从A点弹射出后速度的大小为
，方向与水平方向成
角，则有
联立解得
，
因此力的方向为与水平方向的夹角满足。
